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7.7   演習

7.7.1   確認問題

1.   完全二分木・充満二分木・充足二分木

次の 2 つの配列は二分木をレベル順に表しており、None は空き位置を表します。

  • 木 A：[1, 2, 3, 4, 5, 6]
  • 木 B：[1, 2, 3, None, None, 6, 7]
  1. どちらが完全二分木ですか？
  2. どちらが充満二分木、つまりすべての非葉ノードが 2 つの子ノードを持つ二分木ですか？
  3. この 2 つに充足二分木はありますか？それぞれ理由を説明してください。
解答

  1. 木 A は完全二分木です。最下層だけがすべて埋まっておらず、ノードが左から右へ隙間なく並んでいます。 木 B は完全二分木ではありません。最下層の左側に空き位置がある一方で、その右側にはノードがあるためです。

  2. 木 B は充満二分木です。ノード 1 とノード 3 はそれぞれ 2 つの子ノードを持ち、それ以外のノードはすべて葉ノードです。 木 A は充満二分木ではありません。ノード 3 が左子ノード 6 だけを持つためです。

  3. どちらも充足二分木ではありません。どちらの木も最下層がすべて埋まっていないためです。

2.   同じ木を走査する 3 つの順序

配列 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] をレベル順に完全二分木へ格納します。

  1. この木を描いてください。
  2. 先行順・中間順・後行順走査の列をそれぞれ書いてください。
  3. 中間順走査の列で、根ノード 1 の左側と右側にある 2 つの列は、木のどの部分にそれぞれ対応しますか？
解答

  1. この木は次のとおりです。

          1
    /   \
   2     3
  / \   / \
 4   5 6   7

  2. 先行順走査は 1, 2, 4, 5, 3, 6, 7、 中間順走査は 4, 2, 5, 1, 6, 3, 7、 後行順走査は 4, 5, 2, 6, 7, 3, 1 です。

  3. 根ノード 1 の左側にある 4, 2, 5 は、左部分木の中間順走査の列です。 右側にある 6, 3, 7 は、右部分木の中間順走査の列です。

3.   2 つの二分探索木を比較する

次の 2 つの列を、左から右へ順に空の二分探索木へ挿入します。

  • 列 A：[4, 2, 6, 1, 3, 5, 7]
  • 列 B：[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]
  1. それぞれの木で 7 を探索するときに通るノードを書いてください。
  2. 高さを根ノードから最も遠い葉ノードまでに通る辺の数とすると、2 つの木の高さはそれぞれいくつですか？
  3. 問い 1、2 の結果から、2 つの木で 7 を探索する効率は同じだと考えられますか？木の形と探索経路をもとに理由を説明してください。
解答

  1. 列 A から作った木では、探索経路は 4 → 6 → 7 です。 列 B から作った木では、探索経路は 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 7 です。

  2. 1 つ目の木はすべての層が埋まっているため、高さは 2 です。2 つ目の木では各ノードが右の子だけを持ち、高さは 6 です。

  3. 2 つの木で 7 を探索する効率は異なります。挿入順序によって二分探索木の形と高さが変わります。1 つ目の木で 7 を探索するときに通るノードは 3 つだけですが、 2 つ目の木では 7 つのノードを順に通ります。木が高いほど、最悪の場合に経路上で比較するノードが多くなります。

7.7.2   プログラミング演習

1.   二分木の最大の深さ

二分木の根ノード root が与えられます。各ノードには、整数値と左右の子ノードを指す参照が含まれています。

根ノードから最も遠い葉ノードまでに通る**ノード数**を、二分木の最大の深さとします。この木の最大の深さを返してください。空の木の最大の深さは 0 です。 再帰を使って求めてください。

解法のヒント
  1. この問題ではノード数で深さを数えます。根ノードだけがある場合、最大の深さは 1 です
  2. 再帰関数が、現在のノードを根とする部分木の最大の深さを返すようにします
  3. 空のノードは 0 を返し、空でないノードは max(depth(left), depth(right)) + 1 を返します

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2.   二分木のレベル順走査

二分木の根ノード root が与えられます。キューを使い、上から下へ層ごとにすべてのノードを訪問してください。同じ層では、左から右の順に訪問します。

二次元配列を返してください。1 つ目の部分配列には根ノードがある層のノード値、2 つ目の部分配列には次の層のノード値を保存し、以降も同様に続けます。 二分木が空の場合は、空の配列を返してください。

解法のヒント
  1. レベル順走査では先に入ったノードを先に訪問するため、キューを使います
  2. 各回の開始時にキューに入っているノードは、ちょうど同じ層に属しています
  3. 先にキューの長さを記録し、その個数のノードを取り出して、それぞれの子ノードを追加します

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3.   二分探索木で k 番目に小さい要素

二分探索木には n 個のノードがあり、すべてのノード値は互いに異なります。 すべてのノード値を小さい順に並べたときの位置には、1 から番号を付けます。

根ノード root と、1 <= k <= n を満たす整数 k が与えられます。k 番目のノード値を返してください。 すべてのノード値を先に集めるのではなく、中間順走査の途中で答えを直接探してください。

解法のヒント
  1. 二分探索木を中間順走査すると、ノード値を小さい順に訪問できます
  2. 中間順走査では、左部分木、現在のノード、右部分木の順に処理します。現在のノードを訪問するとき、カウントに 1 を足します
  3. カウントが初めて k になったとき、現在のノード値が答えです。それ以降は走査を続ける必要がありません

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