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10.2   二分探索の挿入位置

二分探索は目標要素の検索だけでなく、目標要素の挿入位置を探すなど、多くの派生問題の解決にも利用できます。

10.2.1   重複要素がない場合

Question

長さ \(n\) の整列済み配列 nums と要素 target が与えられます。配列には重複要素は存在しません。ここで target を配列 nums に挿入し、その順序を保ちます。配列中にすでに要素 target が存在する場合は、その左側に挿入します。挿入後の配列における target のインデックスを返してください。例を以下の図に示します。

二分探索の挿入位置の例データ

図 10-4   二分探索の挿入位置の例データ

前節の二分探索コードを再利用したい場合は、次の二つの問題に答える必要があります。

問題 1：配列に target が含まれる場合、挿入位置のインデックスはその要素のインデックスですか？

問題では target を等しい要素の左側に挿入するよう求めているため、新しく挿入された target は元の target の位置に入ります。つまり、配列に target が含まれる場合、挿入位置のインデックスはその target のインデックスです。

問題 2：配列に target が存在しない場合、挿入位置はどの要素のインデックスですか？

二分探索の過程をさらに考えると、nums[m] < target のときは \(i\) が移動します。これは、ポインタ \(i\) が target 以上の要素へ近づいていることを意味します。同様に、ポインタ \(j\) は常に target 以下の要素へ近づいています。

したがって二分探索の終了時には、\(i\) は最初の target より大きい要素を指し、\(j\) は最初の target より小さい要素を指します。よって、配列に target が含まれない場合、挿入インデックスは \(i\) です。コードは次のとおりです：

binary_search_insertion.py
def binary_search_insertion_simple(nums: list[int], target: int) -> int:
    """二分探索で挿入位置を探す（重複要素なし）"""
    i, j = 0, len(nums) - 1  # 両閉区間 [0, n-1] を初期化
    while i <= j:
        m = (i + j) // 2  # 中点インデックス m を計算
        if nums[m] < target:
            i = m + 1  # target は区間 [m+1, j] にある
        elif nums[m] > target:
            j = m - 1  # target は区間 [i, m-1] にある
        else:
            return m  # target が見つかったら、挿入位置 m を返す
    # target が見つからなければ、挿入位置 i を返す
    return i
binary_search_insertion.cpp
/* 二分探索で挿入位置を探す（重複要素なし） */
int binarySearchInsertionSimple(vector<int> &nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.size() - 1; // 両閉区間 [0, n-1] を初期化
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 中点インデックス m を計算
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target は区間 [m+1, j] にある
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target は区間 [i, m-1] にある
        } else {
            return m; // target が見つかったら、挿入位置 m を返す
        }
    }
    // target が見つからなければ、挿入位置 i を返す
    return i;
}
binary_search_insertion.java
/* 二分探索で挿入位置を探す（重複要素なし） */
int binarySearchInsertionSimple(int[] nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.length - 1; // 両閉区間 [0, n-1] を初期化
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 中点インデックス m を計算
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target は区間 [m+1, j] にある
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target は区間 [i, m-1] にある
        } else {
            return m; // target が見つかったら、挿入位置 m を返す
        }
    }
    // target が見つからなければ、挿入位置 i を返す
    return i;
}
binary_search_insertion.cs
/* 二分探索で挿入位置を探す（重複要素なし） */
int BinarySearchInsertionSimple(int[] nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.Length - 1; // 両閉区間 [0, n-1] を初期化
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 中点インデックス m を計算
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target は区間 [m+1, j] にある
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target は区間 [i, m-1] にある
        } else {
            return m; // target が見つかったら、挿入位置 m を返す
        }
    }
    // target が見つからなければ、挿入位置 i を返す
    return i;
}
binary_search_insertion.go
/* 二分探索で挿入位置を探す（重複要素なし） */
func binarySearchInsertionSimple(nums []int, target int) int {
    // 両閉区間 [0, n-1] を初期化
    i, j := 0, len(nums)-1
    for i <= j {
        // 中点インデックス m を計算
        m := i + (j-i)/2
        if nums[m] < target {
            // target は区間 [m+1, j] にある
            i = m + 1
        } else if nums[m] > target {
            // target は区間 [i, m-1] にある
            j = m - 1
        } else {
            // target が見つかったら、挿入位置 m を返す
            return m
        }
    }
    // target が見つからなければ、挿入位置 i を返す
    return i
}
binary_search_insertion.swift
/* 二分探索で挿入位置を探す（重複要素なし） */
func binarySearchInsertionSimple(nums: [Int], target: Int) -> Int {
    // 両閉区間 [0, n-1] を初期化
    var i = nums.startIndex
    var j = nums.endIndex - 1
    while i <= j {
        let m = i + (j - i) / 2 // 中点インデックス m を計算
        if nums[m] < target {
            i = m + 1 // target は区間 [m+1, j] にある
        } else if nums[m] > target {
            j = m - 1 // target は区間 [i, m-1] にある
        } else {
            return m // target が見つかったら、挿入位置 m を返す
        }
    }
    // target が見つからなければ、挿入位置 i を返す
    return i
}
binary_search_insertion.js
/* 二分探索で挿入位置を探す（重複要素なし） */
function binarySearchInsertionSimple(nums, target) {
    let i = 0,
        j = nums.length - 1; // 両閉区間 [0, n-1] を初期化
    while (i <= j) {
        const m = Math.floor(i + (j - i) / 2); // 中点インデックス m を計算し、Math.floor() で切り捨てる
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target は区間 [m+1, j] にある
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target は区間 [i, m-1] にある
        } else {
            return m; // target が見つかったら、挿入位置 m を返す
        }
    }
    // target が見つからなければ、挿入位置 i を返す
    return i;
}
binary_search_insertion.ts
/* 二分探索で挿入位置を探す（重複要素なし） */
function binarySearchInsertionSimple(
    nums: Array<number>,
    target: number
): number {
    let i = 0,
        j = nums.length - 1; // 両閉区間 [0, n-1] を初期化
    while (i <= j) {
        const m = Math.floor(i + (j - i) / 2); // 中点インデックス m を計算し、Math.floor() で切り捨てる
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target は区間 [m+1, j] にある
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target は区間 [i, m-1] にある
        } else {
            return m; // target が見つかったら、挿入位置 m を返す
        }
    }
    // target が見つからなければ、挿入位置 i を返す
    return i;
}
binary_search_insertion.dart
/* 二分探索で挿入位置を探す（重複要素なし） */
int binarySearchInsertionSimple(List<int> nums, int target) {
  int i = 0, j = nums.length - 1; // 両閉区間 [0, n-1] を初期化
  while (i <= j) {
    int m = i + (j - i) ~/ 2; // 中点インデックス m を計算
    if (nums[m] < target) {
      i = m + 1; // target は区間 [m+1, j] にある
    } else if (nums[m] > target) {
      j = m - 1; // target は区間 [i, m-1] にある
    } else {
      return m; // target が見つかったら、挿入位置 m を返す
    }
  }
  // target が見つからなければ、挿入位置 i を返す
  return i;
}
binary_search_insertion.rs
/* 二分探索で挿入位置を探す（重複要素なし） */
fn binary_search_insertion_simple(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
    let (mut i, mut j) = (0, nums.len() as i32 - 1); // 両閉区間 [0, n-1] を初期化
    while i <= j {
        let m = i + (j - i) / 2; // 中点インデックス m を計算
        if nums[m as usize] < target {
            i = m + 1; // target は区間 [m+1, j] にある
        } else if nums[m as usize] > target {
            j = m - 1; // target は区間 [i, m-1] にある
        } else {
            return m;
        }
    }
    // target が見つからなければ、挿入位置 i を返す
    i
}
binary_search_insertion.c
/* 二分探索で挿入位置を探す（重複要素なし） */
int binarySearchInsertionSimple(int *nums, int numSize, int target) {
    int i = 0, j = numSize - 1; // 両閉区間 [0, n-1] を初期化
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 中点インデックス m を計算
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target は区間 [m+1, j] にある
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target は区間 [i, m-1] にある
        } else {
            return m; // target が見つかったら、挿入位置 m を返す
        }
    }
    // target が見つからなければ、挿入位置 i を返す
    return i;
}
binary_search_insertion.kt
/* 二分探索で挿入位置を探す（重複要素なし） */
fun binarySearchInsertionSimple(nums: IntArray, target: Int): Int {
    var i = 0
    var j = nums.size - 1 // 両閉区間 [0, n-1] を初期化
    while (i <= j) {
        val m = i + (j - i) / 2 // 中点インデックス m を計算
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1 // target は区間 [m+1, j] にある
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1 // target は区間 [i, m-1] にある
        } else {
            return m // target が見つかったら、挿入位置 m を返す
        }
    }
    // target が見つからなければ、挿入位置 i を返す
    return i
}
binary_search_insertion.rb
### 二分探索の挿入位置（重複要素なし） ###
def binary_search_insertion_simple(nums, target)
  # 両閉区間 [0, n-1] を初期化
  i, j = 0, nums.length - 1

  while i <= j
    # 中点インデックス m を計算
    m = (i + j) / 2

    if nums[m] < target
      i = m + 1 # target は区間 [m+1, j] にある
    elsif nums[m] > target
      j = m - 1 # target は区間 [i, m-1] にある
    else
      return m  # target が見つかったら、挿入位置 m を返す
    end
  end

  i # target が見つからなければ、挿入位置 i を返す
end
コードの可視化

10.2.2   重複要素がある場合

Question

前問を踏まえ、配列には重複要素が含まれる可能性があるものとし、それ以外の条件は変わりません。

配列中に複数の target が存在する場合、通常の二分探索ではそのうち一つの target のインデックスしか返せず、その要素の左側と右側にあといくつ target があるかは分かりません。

問題では目標要素を最も左に挿入する必要があるため、配列中で最も左にある target のインデックスを探す必要があります。まずは以下の図に示す手順で実現することを考えます。

  1. 二分探索を実行し、任意の target のインデックスを得て、これを \(k\) とします。
  2. インデックス \(k\) から始めて左へ線形探索し、最も左の target を見つけたら返します。

線形探索による重複要素の挿入位置

図 10-5   線形探索による重複要素の挿入位置

この方法は使用できますが、線形探索を含むため、時間計算量は \(O(n)\) です。配列中に重複した target が多い場合、この方法の効率は低くなります。

次に、二分探索のコードを拡張することを考えます。以下の図に示すように、全体の流れは変えず、各反復でまず中点インデックス \(m\) を計算し、その後 target と nums[m] の大小関係を判定して、次のいくつかの状況に分けます。

  • nums[m] < target または nums[m] > target のときは、まだ target を見つけていないことを意味するため、通常の二分探索と同じ区間縮小を行い、ポインタ \(i\) と \(j\) を target に近づけます。
  • nums[m] == target のときは、target より小さい要素が区間 \([i, m - 1]\) にあることを意味するため、\(j = m - 1\) として区間を縮小し、ポインタ \(j\) を target より小さい要素に近づけます。

ループ終了後、\(i\) は最も左の target を指し、\(j\) は最初の target より小さい要素を指すため、インデックス \(i\) が挿入位置です。

重複要素に対する二分探索の挿入位置の手順

binary_search_insertion_step2

binary_search_insertion_step3

binary_search_insertion_step4

binary_search_insertion_step5

binary_search_insertion_step6

binary_search_insertion_step7

binary_search_insertion_step8

図 10-6   重複要素に対する二分探索の挿入位置の手順

以下のコードを観察すると、分岐 nums[m] > target と nums[m] == target の処理は同じであるため、両者はまとめることができます。

それでも、判定条件を分けたままにしておくことは可能であり、そのほうがロジックがより明確で、可読性も高くなります。

binary_search_insertion.py
def binary_search_insertion(nums: list[int], target: int) -> int:
    """二分探索で挿入位置を探す（重複要素あり）"""
    i, j = 0, len(nums) - 1  # 両閉区間 [0, n-1] を初期化
    while i <= j:
        m = (i + j) // 2  # 中点インデックス m を計算
        if nums[m] < target:
            i = m + 1  # target は区間 [m+1, j] にある
        elif nums[m] > target:
            j = m - 1  # target は区間 [i, m-1] にある
        else:
            j = m - 1  # target より小さい最初の要素は区間 [i, m-1] にある
    # 挿入位置 i を返す
    return i
binary_search_insertion.cpp
/* 二分探索で挿入位置を探す（重複要素あり） */
int binarySearchInsertion(vector<int> &nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.size() - 1; // 両閉区間 [0, n-1] を初期化
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 中点インデックス m を計算
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target は区間 [m+1, j] にある
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target は区間 [i, m-1] にある
        } else {
            j = m - 1; // target より小さい最初の要素は区間 [i, m-1] にある
        }
    }
    // 挿入位置 i を返す
    return i;
}
binary_search_insertion.java
/* 二分探索で挿入位置を探す（重複要素あり） */
int binarySearchInsertion(int[] nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.length - 1; // 両閉区間 [0, n-1] を初期化
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 中点インデックス m を計算
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target は区間 [m+1, j] にある
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target は区間 [i, m-1] にある
        } else {
            j = m - 1; // target より小さい最初の要素は区間 [i, m-1] にある
        }
    }
    // 挿入位置 i を返す
    return i;
}
binary_search_insertion.cs
/* 二分探索で挿入位置を探す（重複要素あり） */
int BinarySearchInsertion(int[] nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.Length - 1; // 両閉区間 [0, n-1] を初期化
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 中点インデックス m を計算
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target は区間 [m+1, j] にある
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target は区間 [i, m-1] にある
        } else {
            j = m - 1; // target より小さい最初の要素は区間 [i, m-1] にある
        }
    }
    // 挿入位置 i を返す
    return i;
}
binary_search_insertion.go
/* 二分探索で挿入位置を探す（重複要素あり） */
func binarySearchInsertion(nums []int, target int) int {
    // 両閉区間 [0, n-1] を初期化
    i, j := 0, len(nums)-1
    for i <= j {
        // 中点インデックス m を計算
        m := i + (j-i)/2
        if nums[m] < target {
            // target は区間 [m+1, j] にある
            i = m + 1
        } else if nums[m] > target {
            // target は区間 [i, m-1] にある
            j = m - 1
        } else {
            // target より小さい最初の要素は区間 [i, m-1] にある
            j = m - 1
        }
    }
    // 挿入位置 i を返す
    return i
}
binary_search_insertion.swift
/* 二分探索で挿入位置を探す（重複要素あり） */
func binarySearchInsertion(nums: [Int], target: Int) -> Int {
    // 両閉区間 [0, n-1] を初期化
    var i = nums.startIndex
    var j = nums.endIndex - 1
    while i <= j {
        let m = i + (j - i) / 2 // 中点インデックス m を計算
        if nums[m] < target {
            i = m + 1 // target は区間 [m+1, j] にある
        } else if nums[m] > target {
            j = m - 1 // target は区間 [i, m-1] にある
        } else {
            j = m - 1 // target より小さい最初の要素は区間 [i, m-1] にある
        }
    }
    // 挿入位置 i を返す
    return i
}
binary_search_insertion.js
/* 二分探索で挿入位置を探す（重複要素あり） */
function binarySearchInsertion(nums, target) {
    let i = 0,
        j = nums.length - 1; // 両閉区間 [0, n-1] を初期化
    while (i <= j) {
        const m = Math.floor(i + (j - i) / 2); // 中点インデックス m を計算し、Math.floor() で切り捨てる
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target は区間 [m+1, j] にある
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target は区間 [i, m-1] にある
        } else {
            j = m - 1; // target より小さい最初の要素は区間 [i, m-1] にある
        }
    }
    // 挿入位置 i を返す
    return i;
}
binary_search_insertion.ts
/* 二分探索で挿入位置を探す（重複要素あり） */
function binarySearchInsertion(nums: Array<number>, target: number): number {
    let i = 0,
        j = nums.length - 1; // 両閉区間 [0, n-1] を初期化
    while (i <= j) {
        const m = Math.floor(i + (j - i) / 2); // 中点インデックス m を計算し、Math.floor() で切り捨てる
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target は区間 [m+1, j] にある
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target は区間 [i, m-1] にある
        } else {
            j = m - 1; // target より小さい最初の要素は区間 [i, m-1] にある
        }
    }
    // 挿入位置 i を返す
    return i;
}
binary_search_insertion.dart
/* 二分探索で挿入位置を探す（重複要素あり） */
int binarySearchInsertion(List<int> nums, int target) {
  int i = 0, j = nums.length - 1; // 両閉区間 [0, n-1] を初期化
  while (i <= j) {
    int m = i + (j - i) ~/ 2; // 中点インデックス m を計算
    if (nums[m] < target) {
      i = m + 1; // target は区間 [m+1, j] にある
    } else if (nums[m] > target) {
      j = m - 1; // target は区間 [i, m-1] にある
    } else {
      j = m - 1; // target より小さい最初の要素は区間 [i, m-1] にある
    }
  }
  // 挿入位置 i を返す
  return i;
}
binary_search_insertion.rs
/* 二分探索で挿入位置を探す（重複要素あり） */
pub fn binary_search_insertion(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
    let (mut i, mut j) = (0, nums.len() as i32 - 1); // 両閉区間 [0, n-1] を初期化
    while i <= j {
        let m = i + (j - i) / 2; // 中点インデックス m を計算
        if nums[m as usize] < target {
            i = m + 1; // target は区間 [m+1, j] にある
        } else if nums[m as usize] > target {
            j = m - 1; // target は区間 [i, m-1] にある
        } else {
            j = m - 1; // target より小さい最初の要素は区間 [i, m-1] にある
        }
    }
    // 挿入位置 i を返す
    i
}
binary_search_insertion.c
/* 二分探索で挿入位置を探す（重複要素あり） */
int binarySearchInsertion(int *nums, int numSize, int target) {
    int i = 0, j = numSize - 1; // 両閉区間 [0, n-1] を初期化
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 中点インデックス m を計算
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target は区間 [m+1, j] にある
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target は区間 [i, m-1] にある
        } else {
            j = m - 1; // target より小さい最初の要素は区間 [i, m-1] にある
        }
    }
    // 挿入位置 i を返す
    return i;
}
binary_search_insertion.kt
/* 二分探索で挿入位置を探す（重複要素あり） */
fun binarySearchInsertion(nums: IntArray, target: Int): Int {
    var i = 0
    var j = nums.size - 1 // 両閉区間 [0, n-1] を初期化
    while (i <= j) {
        val m = i + (j - i) / 2 // 中点インデックス m を計算
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1 // target は区間 [m+1, j] にある
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1 // target は区間 [i, m-1] にある
        } else {
            j = m - 1 // target より小さい最初の要素は区間 [i, m-1] にある
        }
    }
    // 挿入位置 i を返す
    return i
}
binary_search_insertion.rb
### 二分探索の挿入位置（重複要素あり） ###
def binary_search_insertion(nums, target)
  # 両閉区間 [0, n-1] を初期化
  i, j = 0, nums.length - 1

  while i <= j
    # 中点インデックス m を計算
    m = (i + j) / 2

    if nums[m] < target
      i = m + 1 # target は区間 [m+1, j] にある
    elsif nums[m] > target
      j = m - 1 # target は区間 [i, m-1] にある
    else
      j = m - 1 # target より小さい最初の要素は区間 [i, m-1] にある
    end
  end

  i # 挿入位置 i を返す
end
コードの可視化

Tip

本節のコードはすべて「両閉区間」の書き方です。興味のある読者は「左閉右開」の書き方を自分で実装してみてください。

要するに、二分探索とはポインタ \(i\) と \(j\) にそれぞれ探索目標を設定することにほかなりません。目標は具体的な要素（たとえば target）である場合もあれば、要素の範囲（たとえば target より小さい要素）である場合もあります。

繰り返される二分のループの中で、ポインタ \(i\) と \(j\) はどちらも事前に定めた目標へ徐々に近づいていきます。最終的に、それらは答えを見つけるか、境界を越えたところで停止します。

ご意見、ご質問、ご提案があればぜひコメントしてください