7.2 二分木の走査¶
物理構造の観点から見ると、木は連結リストを基盤としたデータ構造であり、その走査はポインタを通じてノードへ順にアクセスすることで行われます。しかし、木は非線形データ構造であるため、木の走査は連結リストの走査よりも複雑であり、検索アルゴリズムを用いて実現する必要があります。
二分木の一般的な走査方法には、レベル順走査、先行順走査、中間順走査、後行順走査などがあります。
7.2.1 レベル順走査¶
次の図に示すように、レベル順走査（level-order traversal）では、二分木を上から下へ層ごとに走査し、各層では左から右の順にノードへアクセスします。
レベル順走査は本質的に幅優先走査（breadth-first traversal）に属し、幅優先探索（breadth-first search, BFS）とも呼ばれます。これは「同心円状に外側へ広がる」ような、層ごとの走査方法を表しています。
図 7-9 二分木のレベル順走査
1. コードの実装¶
幅優先走査は通常「キュー」を用いて実装します。キューは「先入れ先出し」の規則に従い、幅優先走査は「層ごとに進む」という規則に従います。両者の背後にある考え方は一致しています。実装コードは次のとおりです：
binary_tree_bfs.py
def level_order(root: TreeNode | None) -> list[int]:
"""レベル順走査"""
# キューを初期化し、ルートノードを追加する
queue: deque[TreeNode] = deque()
queue.append(root)
# 走査順序を保存するためのリストを初期化する
res = []
while queue:
node: TreeNode = queue.popleft() # デキュー
res.append(node.val) # ノードの値を保存する
if node.left is not None:
queue.append(node.left) # 左子ノードをキューに追加
if node.right is not None:
queue.append(node.right) # 右子ノードをキューに追加
return res
binary_tree_bfs.cpp
/* レベル順走査 */
vector<int> levelOrder(TreeNode *root) {
// キューを初期化し、ルートノードを追加する
queue<TreeNode *> queue;
queue.push(root);
// 走査順序を保存するためのリストを初期化する
vector<int> vec;
while (!queue.empty()) {
TreeNode *node = queue.front();
queue.pop(); // デキュー
vec.push_back(node->val); // ノードの値を保存する
if (node->left != nullptr)
queue.push(node->left); // 左子ノードをキューに追加
if (node->right != nullptr)
queue.push(node->right); // 右子ノードをキューに追加
}
return vec;
}
binary_tree_bfs.java
/* レベル順走査 */
List<Integer> levelOrder(TreeNode root) {
// キューを初期化し、ルートノードを追加する
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
queue.add(root);
// 走査順序を保存するためのリストを初期化する
List<Integer> list = new ArrayList<>();
while (!queue.isEmpty()) {
TreeNode node = queue.poll(); // デキュー
list.add(node.val); // ノードの値を保存する
if (node.left != null)
queue.offer(node.left); // 左子ノードをキューに追加
if (node.right != null)
queue.offer(node.right); // 右子ノードをキューに追加
}
return list;
}
binary_tree_bfs.cs
/* レベル順走査 */
List<int> LevelOrder(TreeNode root) {
// キューを初期化し、ルートノードを追加する
Queue<TreeNode> queue = new();
queue.Enqueue(root);
// 走査順序を保存するためのリストを初期化する
List<int> list = [];
while (queue.Count != 0) {
TreeNode node = queue.Dequeue(); // デキュー
list.Add(node.val!.Value); // ノードの値を保存する
if (node.left != null)
queue.Enqueue(node.left); // 左子ノードをキューに追加
if (node.right != null)
queue.Enqueue(node.right); // 右子ノードをキューに追加
}
return list;
}
binary_tree_bfs.go
/* レベル順走査 */
func levelOrder(root *TreeNode) []any {
// キューを初期化し、ルートノードを追加する
queue := list.New()
queue.PushBack(root)
// 走査順を保存するためのスライスを初期化する
nums := make([]any, 0)
for queue.Len() > 0 {
// デキュー
node := queue.Remove(queue.Front()).(*TreeNode)
// ノードの値を保存する
nums = append(nums, node.Val)
if node.Left != nil {
// 左子ノードをキューに追加
queue.PushBack(node.Left)
}
if node.Right != nil {
// 右子ノードをキューに追加
queue.PushBack(node.Right)
}
}
return nums
}
binary_tree_bfs.swift
/* レベル順走査 */
func levelOrder(root: TreeNode) -> [Int] {
// キューを初期化し、ルートノードを追加する
var queue: [TreeNode] = [root]
// 走査順序を保存するためのリストを初期化する
var list: [Int] = []
while !queue.isEmpty {
let node = queue.removeFirst() // デキュー
list.append(node.val) // ノードの値を保存する
if let left = node.left {
queue.append(left) // 左子ノードをキューに追加
}
if let right = node.right {
queue.append(right) // 右子ノードをキューに追加
}
}
return list
}
binary_tree_bfs.js
/* レベル順走査 */
function levelOrder(root) {
// キューを初期化し、ルートノードを追加する
const queue = [root];
// 走査順序を保存するためのリストを初期化する
const list = [];
while (queue.length) {
let node = queue.shift(); // デキュー
list.push(node.val); // ノードの値を保存する
if (node.left) queue.push(node.left); // 左子ノードをキューに追加
if (node.right) queue.push(node.right); // 右子ノードをキューに追加
}
return list;
}
binary_tree_bfs.ts
/* レベル順走査 */
function levelOrder(root: TreeNode | null): number[] {
// キューを初期化し、ルートノードを追加する
const queue = [root];
// 走査順序を保存するためのリストを初期化する
const list: number[] = [];
while (queue.length) {
let node = queue.shift() as TreeNode; // デキュー
list.push(node.val); // ノードの値を保存する
if (node.left) {
queue.push(node.left); // 左子ノードをキューに追加
}
if (node.right) {
queue.push(node.right); // 右子ノードをキューに追加
}
}
return list;
}
binary_tree_bfs.dart
/* レベル順走査 */
List<int> levelOrder(TreeNode? root) {
// キューを初期化し、ルートノードを追加する
Queue<TreeNode?> queue = Queue();
queue.add(root);
// 走査順序を保存するためのリストを初期化する
List<int> res = [];
while (queue.isNotEmpty) {
TreeNode? node = queue.removeFirst(); // デキュー
res.add(node!.val); // ノードの値を保存する
if (node.left != null) queue.add(node.left); // 左子ノードをキューに追加
if (node.right != null) queue.add(node.right); // 右子ノードをキューに追加
}
return res;
}
binary_tree_bfs.rs
/* レベル順走査 */
fn level_order(root: &Rc<RefCell<TreeNode>>) -> Vec<i32> {
// キューを初期化し、ルートノードを追加する
let mut que = VecDeque::new();
que.push_back(root.clone());
// 走査順序を保存するためのリストを初期化する
let mut vec = Vec::new();
while let Some(node) = que.pop_front() {
// デキュー
vec.push(node.borrow().val); // ノードの値を保存する
if let Some(left) = node.borrow().left.as_ref() {
que.push_back(left.clone()); // 左子ノードをキューに追加
}
if let Some(right) = node.borrow().right.as_ref() {
que.push_back(right.clone()); // 右子ノードをキューに追加
};
}
vec
}
binary_tree_bfs.c
/* レベル順走査 */
int *levelOrder(TreeNode *root, int *size) {
/* 補助キュー */
int front, rear;
int index, *arr;
TreeNode *node;
TreeNode **queue;
/* 補助キュー */
queue = (TreeNode **)malloc(sizeof(TreeNode *) * MAX_SIZE);
// キューへのポインタ
front = 0, rear = 0;
// 根ノードを追加する
queue[rear++] = root;
// 走査順序を保存するためのリストを初期化する
/* 補助配列 */
arr = (int *)malloc(sizeof(int) * MAX_SIZE);
// 配列ポインタ
index = 0;
while (front < rear) {
// デキュー
node = queue[front++];
// ノードの値を保存する
arr[index++] = node->val;
if (node->left != NULL) {
// 左子ノードをキューに追加
queue[rear++] = node->left;
}
if (node->right != NULL) {
// 右子ノードをキューに追加
queue[rear++] = node->right;
}
}
// 配列長の値を更新
*size = index;
arr = realloc(arr, sizeof(int) * (*size));
// 補助配列の領域を解放する
free(queue);
return arr;
}
binary_tree_bfs.kt
/* レベル順走査 */
fun levelOrder(root: TreeNode?): MutableList<Int> {
// キューを初期化し、ルートノードを追加する
val queue = LinkedList<TreeNode?>()
queue.add(root)
// 走査順序を保存するためのリストを初期化する
val list = mutableListOf<Int>()
while (queue.isNotEmpty()) {
val node = queue.poll() // デキュー
list.add(node?._val!!) // ノードの値を保存する
if (node.left != null)
queue.offer(node.left) // 左子ノードをキューに追加
if (node.right != null)
queue.offer(node.right) // 右子ノードをキューに追加
}
return list
}
binary_tree_bfs.rb
### レベル順走査 ###
def level_order(root)
# キューを初期化し、ルートノードを追加する
queue = [root]
# 走査順序を保存するためのリストを初期化する
res = []
while !queue.empty?
node = queue.shift # デキュー
res << node.val # ノードの値を保存する
queue << node.left unless node.left.nil? # 左子ノードをキューに追加
queue << node.right unless node.right.nil? # 右子ノードをキューに追加
end
res
end
コードの可視化
2. 計算量¶
- 時間計算量は \(O(n)\) ：すべてのノードを1回ずつ訪問するため、計算量は \(O(n)\) です。ここで、\(n\) はノード数です。
- 空間計算量は \(O(n)\) ：最悪の場合、すなわち完全二分木では、最下層に到達する前に、キュー内には最大で同時に \((n + 1) / 2\) 個のノードが存在し、\(O(n)\) の空間を使用します。
7.2.2 先行順・中間順・後行順走査¶
同様に、先行順・中間順・後行順走査はいずれも深度優先走査（depth-first traversal）に属し、深度優先探索（depth-first search, DFS）とも呼ばれます。これは「まず行き止まりまで進み、その後で戻って続ける」という走査方法を表しています。
次の図は、二分木に対して深度優先走査を行う仕組みを示しています。深度優先走査は、二分木全体の外周をぐるりと「一周する」ようなものです。各ノードでは3つの位置に出会い、それぞれが先行順走査・中間順走査・後行順走査に対応します。
図 7-10 二分探索木の先行順・中間順・後行順走査
1. コードの実装¶
深度優先探索は通常、再帰に基づいて実装されます：
binary_tree_dfs.py
def pre_order(root: TreeNode | None):
"""先行順走査"""
if root is None:
return
# 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
res.append(root.val)
pre_order(root=root.left)
pre_order(root=root.right)
def in_order(root: TreeNode | None):
"""中順走査"""
if root is None:
return
# 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
in_order(root=root.left)
res.append(root.val)
in_order(root=root.right)
def post_order(root: TreeNode | None):
"""後順走査"""
if root is None:
return
# 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
post_order(root=root.left)
post_order(root=root.right)
res.append(root.val)
binary_tree_dfs.cpp
/* 先行順走査 */
void preOrder(TreeNode *root) {
if (root == nullptr)
return;
// 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
vec.push_back(root->val);
preOrder(root->left);
preOrder(root->right);
}
/* 中順走査 */
void inOrder(TreeNode *root) {
if (root == nullptr)
return;
// 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
inOrder(root->left);
vec.push_back(root->val);
inOrder(root->right);
}
/* 後順走査 */
void postOrder(TreeNode *root) {
if (root == nullptr)
return;
// 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
postOrder(root->left);
postOrder(root->right);
vec.push_back(root->val);
}
binary_tree_dfs.java
/* 先行順走査 */
void preOrder(TreeNode root) {
if (root == null)
return;
// 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
list.add(root.val);
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
}
/* 中順走査 */
void inOrder(TreeNode root) {
if (root == null)
return;
// 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
inOrder(root.left);
list.add(root.val);
inOrder(root.right);
}
/* 後順走査 */
void postOrder(TreeNode root) {
if (root == null)
return;
// 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
postOrder(root.left);
postOrder(root.right);
list.add(root.val);
}
binary_tree_dfs.cs
/* 先行順走査 */
void PreOrder(TreeNode? root) {
if (root == null) return;
// 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
list.Add(root.val!.Value);
PreOrder(root.left);
PreOrder(root.right);
}
/* 中順走査 */
void InOrder(TreeNode? root) {
if (root == null) return;
// 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
InOrder(root.left);
list.Add(root.val!.Value);
InOrder(root.right);
}
/* 後順走査 */
void PostOrder(TreeNode? root) {
if (root == null) return;
// 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
PostOrder(root.left);
PostOrder(root.right);
list.Add(root.val!.Value);
}
binary_tree_dfs.go
/* 先行順走査 */
func preOrder(node *TreeNode) {
if node == nil {
return
}
// 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
nums = append(nums, node.Val)
preOrder(node.Left)
preOrder(node.Right)
}
/* 中順走査 */
func inOrder(node *TreeNode) {
if node == nil {
return
}
// 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
inOrder(node.Left)
nums = append(nums, node.Val)
inOrder(node.Right)
}
/* 後順走査 */
func postOrder(node *TreeNode) {
if node == nil {
return
}
// 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
postOrder(node.Left)
postOrder(node.Right)
nums = append(nums, node.Val)
}
binary_tree_dfs.swift
/* 先行順走査 */
func preOrder(root: TreeNode?) {
guard let root = root else {
return
}
// 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
list.append(root.val)
preOrder(root: root.left)
preOrder(root: root.right)
}
/* 中順走査 */
func inOrder(root: TreeNode?) {
guard let root = root else {
return
}
// 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
inOrder(root: root.left)
list.append(root.val)
inOrder(root: root.right)
}
/* 後順走査 */
func postOrder(root: TreeNode?) {
guard let root = root else {
return
}
// 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
postOrder(root: root.left)
postOrder(root: root.right)
list.append(root.val)
}
binary_tree_dfs.js
/* 先行順走査 */
function preOrder(root) {
if (root === null) return;
// 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
list.push(root.val);
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
}
/* 中順走査 */
function inOrder(root) {
if (root === null) return;
// 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
inOrder(root.left);
list.push(root.val);
inOrder(root.right);
}
/* 後順走査 */
function postOrder(root) {
if (root === null) return;
// 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
postOrder(root.left);
postOrder(root.right);
list.push(root.val);
}
binary_tree_dfs.ts
/* 先行順走査 */
function preOrder(root: TreeNode | null): void {
if (root === null) {
return;
}
// 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
list.push(root.val);
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
}
/* 中順走査 */
function inOrder(root: TreeNode | null): void {
if (root === null) {
return;
}
// 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
inOrder(root.left);
list.push(root.val);
inOrder(root.right);
}
/* 後順走査 */
function postOrder(root: TreeNode | null): void {
if (root === null) {
return;
}
// 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
postOrder(root.left);
postOrder(root.right);
list.push(root.val);
}
binary_tree_dfs.dart
/* 先行順走査 */
void preOrder(TreeNode? node) {
if (node == null) return;
// 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
list.add(node.val);
preOrder(node.left);
preOrder(node.right);
}
/* 中順走査 */
void inOrder(TreeNode? node) {
if (node == null) return;
// 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
inOrder(node.left);
list.add(node.val);
inOrder(node.right);
}
/* 後順走査 */
void postOrder(TreeNode? node) {
if (node == null) return;
// 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
postOrder(node.left);
postOrder(node.right);
list.add(node.val);
}
binary_tree_dfs.rs
/* 先行順走査 */
fn pre_order(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> Vec<i32> {
let mut result = vec![];
fn dfs(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>, res: &mut Vec<i32>) {
if let Some(node) = root {
// 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
let node = node.borrow();
res.push(node.val);
dfs(node.left.as_ref(), res);
dfs(node.right.as_ref(), res);
}
}
dfs(root, &mut result);
result
}
/* 中順走査 */
fn in_order(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> Vec<i32> {
let mut result = vec![];
fn dfs(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>, res: &mut Vec<i32>) {
if let Some(node) = root {
// 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
let node = node.borrow();
dfs(node.left.as_ref(), res);
res.push(node.val);
dfs(node.right.as_ref(), res);
}
}
dfs(root, &mut result);
result
}
/* 後順走査 */
fn post_order(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> Vec<i32> {
let mut result = vec![];
fn dfs(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>, res: &mut Vec<i32>) {
if let Some(node) = root {
// 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
let node = node.borrow();
dfs(node.left.as_ref(), res);
dfs(node.right.as_ref(), res);
res.push(node.val);
}
}
dfs(root, &mut result);
result
}
binary_tree_dfs.c
/* 先行順走査 */
void preOrder(TreeNode *root, int *size) {
if (root == NULL)
return;
// 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
arr[(*size)++] = root->val;
preOrder(root->left, size);
preOrder(root->right, size);
}
/* 中順走査 */
void inOrder(TreeNode *root, int *size) {
if (root == NULL)
return;
// 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
inOrder(root->left, size);
arr[(*size)++] = root->val;
inOrder(root->right, size);
}
/* 後順走査 */
void postOrder(TreeNode *root, int *size) {
if (root == NULL)
return;
// 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
postOrder(root->left, size);
postOrder(root->right, size);
arr[(*size)++] = root->val;
}
binary_tree_dfs.kt
/* 先行順走査 */
fun preOrder(root: TreeNode?) {
if (root == null) return
// 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
list.add(root._val)
preOrder(root.left)
preOrder(root.right)
}
/* 中順走査 */
fun inOrder(root: TreeNode?) {
if (root == null) return
// 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
inOrder(root.left)
list.add(root._val)
inOrder(root.right)
}
/* 後順走査 */
fun postOrder(root: TreeNode?) {
if (root == null) return
// 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
postOrder(root.left)
postOrder(root.right)
list.add(root._val)
}
binary_tree_dfs.rb
### 前順走査 ###
def pre_order(root)
return if root.nil?
# 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
$res << root.val
pre_order(root.left)
pre_order(root.right)
end
### 中順走査 ###
def in_order(root)
return if root.nil?
# 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
in_order(root.left)
$res << root.val
in_order(root.right)
end
### 後順走査 ###
def post_order(root)
return if root.nil?
# 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
post_order(root.left)
post_order(root.right)
$res << root.val
end
コードの可視化
Tip
深度優先探索は反復によって実装することもできます。興味のある読者は自身で調べてみてください。
次の図は、二分木の先行順走査における再帰の過程を示しており、「行き」と「帰り」という2つの逆向きの部分に分けられます。
- 「行き」は新しいメソッドの開始を表し、この過程でプログラムは次のノードにアクセスします。
- 「帰り」は関数の復帰を表し、現在のノードへのアクセスが完了したことを意味します。
図 7-11 先行順走査の再帰過程
2. 計算量¶
- 時間計算量は \(O(n)\) ：すべてのノードを1回ずつ訪問するため、計算量は \(O(n)\) です。
- 空間計算量は \(O(n)\) ：最悪の場合、すなわち木が連結リストに退化したとき、再帰の深さは \(n\) に達し、システムは \(O(n)\) のスタックフレーム空間を使用します。