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3.3   数値エンコーディング *

Tip

本書では、タイトルに * 記号が付いている章は選読です。時間が限られている場合や理解が難しいと感じる場合は、いったん読み飛ばし、必読章を終えてから個別に取り組んでください。

3.3.1   符号付き絶対値表現、1 の補数、2 の補数

前節の表を見ると、すべての整数型で表せる負数の個数は正数より 1 つ多く、たとえば byte の値域は \([-128, 127]\) です。この現象は直感に反するように見えますが、その背景には符号付き絶対値表現、1 の補数、2 の補数に関する知識があります。

まず押さえておくべきなのは、**数値はコンピュータ内で「2 の補数」の形で保存される**ということです。その理由を説明する前に、まずはこの 3 つの定義を示します。

  • 符号付き絶対値表現：数値の二進表現の最上位ビットを符号ビットとみなし、\(0\) は正数、\(1\) は負数を表し、残りのビットが数値の値を表します。
  • 1 の補数：正数の 1 の補数は符号付き絶対値表現と同じで、負数の 1 の補数は符号ビットを除くすべてのビットを反転したものです。
  • 2 の補数：正数の 2 の補数は符号付き絶対値表現と同じで、負数の 2 の補数は 1 の補数に \(1\) を加えたものです。

下図は、符号付き絶対値表現、1 の補数、2 の補数の変換方法を示しています。

符号付き絶対値表現、1 の補数、2 の補数の相互変換

図 3-4   符号付き絶対値表現、1 の補数、2 の補数の相互変換

符号付き絶対値表現（sign-magnitude）は最も直感的ですが、いくつかの制約があります。まず、負数の符号付き絶対値表現はそのまま演算に使えません。たとえば符号付き絶対値表現で \(1 + (-2)\) を計算すると、結果は \(-3\) になってしまい、これは明らかに誤りです。

\[ \begin{aligned} & 1 + (-2) \newline & \rightarrow 0000 \; 0001 + 1000 \; 0010 \newline & = 1000 \; 0011 \newline & \rightarrow -3 \end{aligned} \]

この問題を解決するために、コンピュータには1 の補数（1's complement）が導入されました。まず符号付き絶対値表現を 1 の補数に変換し、1 の補数で \(1 + (-2)\) を計算してから、結果を 1 の補数から符号付き絶対値表現へ戻すと、正しい結果 \(-1\) が得られます。

\[ \begin{aligned} & 1 + (-2) \newline & \rightarrow 0000 \; 0001 \; \text{(符号付き絶対値表現)} + 1000 \; 0010 \; \text{(符号付き絶対値表現)} \newline & = 0000 \; 0001 \; \text{(1 の補数)} + 1111 \; 1101 \; \text{(1 の補数)} \newline & = 1111 \; 1110 \; \text{(1 の補数)} \newline & = 1000 \; 0001 \; \text{(符号付き絶対値表現)} \newline & \rightarrow -1 \end{aligned} \]

一方、数値 0 の符号付き絶対値表現には \(+0\) と \(-0\) の 2 つの表し方があります。つまり、数値 0 に対して異なる 2 つの二進コードが対応しており、これは曖昧さの原因になります。たとえば条件判定で正のゼロと負のゼロを区別しないと、誤った判定結果になる可能性があります。また、この曖昧さを解消しようとすると追加の判定処理が必要になり、計算効率が下がるおそれがあります。

\[ \begin{aligned} +0 & \rightarrow 0000 \; 0000 \newline -0 & \rightarrow 1000 \; 0000 \end{aligned} \]

符号付き絶対値表現と同様に、1 の補数にも正負のゼロの曖昧さがあります。そこでコンピュータはさらに2 の補数（2's complement）を導入しました。まずは負のゼロについて、符号付き絶対値表現、1 の補数、2 の補数の変換を見てみましょう。

\[ \begin{aligned} -0 \rightarrow \; & 1000 \; 0000 \; \text{(符号付き絶対値表現)} \newline = \; & 1111 \; 1111 \; \text{(1 の補数)} \newline = 1 \; & 0000 \; 0000 \; \text{(2 の補数)} \newline \end{aligned} \]

負のゼロの 1 の補数に \(1\) を加えると桁上がりが発生しますが、byte 型の長さは 8 ビットしかないため、第 9 ビットへあふれた \(1\) は捨てられます。つまり、負のゼロの 2 の補数は \(0000 \; 0000\) であり、正のゼロの 2 の補数と同じです。そのため、2 の補数表現ではゼロは 1 つしか存在せず、正負のゼロの曖昧さは解消されます。

最後にもう 1 つ疑問が残ります。byte 型の値域は \([-128, 127]\) ですが、余分にある負数 \(-128\) はどのように得られるのでしょうか。区間 \([-127, +127]\) にあるすべての整数には、それぞれ対応する符号付き絶対値表現、1 の補数、2 の補数があり、符号付き絶対値表現と 2 の補数の間は相互に変換できます。

しかし、2 の補数 \(1000 \; 0000\) だけは例外で、対応する符号付き絶対値表現を持ちません。変換規則に従うと、この 2 の補数に対応する符号付き絶対値表現は \(0000 \; 0000\) になります。これは明らかに矛盾しています。なぜなら、この符号付き絶対値表現は数値 \(0\) を表し、その 2 の補数は自分自身であるはずだからです。コンピュータでは、この特別な 2 の補数 \(1000 \; 0000\) を \(-128\) と定めています。実際、2 の補数での \((-1) + (-127)\) の計算結果はちょうど \(-128\) になります。

\[ \begin{aligned} & (-127) + (-1) \newline & \rightarrow 1111 \; 1111 \; \text{(符号付き絶対値表現)} + 1000 \; 0001 \; \text{(符号付き絶対値表現)} \newline & = 1000 \; 0000 \; \text{(1 の補数)} + 1111 \; 1110 \; \text{(1 の補数)} \newline & = 1000 \; 0001 \; \text{(2 の補数)} + 1111 \; 1111 \; \text{(2 の補数)} \newline & = 1000 \; 0000 \; \text{(2 の補数)} \newline & \rightarrow -128 \end{aligned} \]

すでにお気づきかもしれませんが、上の計算はすべて加算です。これは重要な事実を示しています。**コンピュータ内部のハードウェア回路は、主として加算を基準に設計されている**のです。なぜなら、加算はほかの演算（乗算、除算、減算など）に比べてハードウェアで実装しやすく、並列化もしやすく、演算速度も速いからです。

ただし、これはコンピュータが加算しかできないという意味ではありません。加算といくつかの基本的な論理演算を組み合わせることで、コンピュータはさまざまな数学演算を実現できます。たとえば減算 \(a - b\) は加算 \(a + (-b)\) に変換できますし、乗算や除算も繰り返しの加算または減算に変換できます。

これで、コンピュータが 2 の補数を使う理由をまとめられます。2 の補数表現に基づけば、コンピュータは同じ回路と操作で正数と負数の加算を扱うことができ、減算専用の特別なハードウェア回路を設計する必要がなく、正負のゼロの曖昧さも特別に処理しなくて済みます。これにより、ハードウェア設計は大幅に簡略化され、演算効率も向上します。

2 の補数の設計は非常に巧妙ですが、紙幅の都合上ここまでにします。興味のある読者は、さらに深く調べてみてください。

3.3.2   浮動小数点数のエンコーディング

注意深い人なら気づくかもしれません。int と float はどちらも長さが 4 バイトで同じなのに、なぜ float の値域は int よりはるかに広いのでしょうか。これはかなり直感に反します。というのも、float は小数を表す必要があるので、本来なら値域は狭くなるはずだからです。

実際には、これは浮動小数点数 float が異なる表現方法を採用しているためです。32 ビット長の二進数を次のように表します。

\[ b_{31} b_{30} b_{29} \ldots b_2 b_1 b_0 \]

IEEE 754 標準によれば、32-bit 長の float は次の 3 つの部分から構成されます。

  • 符号部 \(\mathrm{S}\) ：1 ビットを占め、\(b_{31}\) に対応します。
  • 指数部 \(\mathrm{E}\) ：8 ビットを占め、\(b_{30} b_{29} \ldots b_{23}\) に対応します。
  • 仮数部 \(\mathrm{N}\) ：23 ビットを占め、\(b_{22} b_{21} \ldots b_0\) に対応します。

二進数 float に対応する値は次式で計算されます。

\[ \text {val} = (-1)^{b_{31}} \times 2^{\left(b_{30} b_{29} \ldots b_{23}\right)_2-127} \times\left(1 . b_{22} b_{21} \ldots b_0\right)_2 \]

十進数に直すと、計算式は次のようになります。

\[ \text {val}=(-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{\mathrm{E} -127} \times (1 + \mathrm{N}) \]

各項の取り得る範囲は次のとおりです。

\[ \begin{aligned} \mathrm{S} \in & \{ 0, 1\}, \quad \mathrm{E} \in \{ 1, 2, \dots, 254 \} \newline (1 + \mathrm{N}) = & (1 + \sum_{i=1}^{23} b_{23-i} 2^{-i}) \subset [1, 2 - 2^{-23}] \end{aligned} \]

IEEE 754 標準における float の計算例

図 3-5   IEEE 754 標準における float の計算例

上図を見ると、例として \(\mathrm{S} = 0\) 、 \(\mathrm{E} = 124\) 、\(\mathrm{N} = 2^{-2} + 2^{-3} = 0.375\) が与えられた場合、次のようになります。

\[ \text { val } = (-1)^0 \times 2^{124 - 127} \times (1 + 0.375) = 0.171875 \]

これで最初の疑問に答えられます。**float の表現方法には指数部が含まれているため、その値域は int よりはるかに広い**のです。上の計算より、float が表せる最大の正数は \(2^{254 - 127} \times (2 - 2^{-23}) \approx 3.4 \times 10^{38}\) であり、符号ビットを切り替えれば最小の負数が得られます。

浮動小数点数 float は値域を広げる一方で、その代償として精度を犠牲にしています。整数型 int は 32 ビットすべてを数値の表現に使うため、数値は一様に分布します。しかし指数部があるため、浮動小数点数 float は値が大きくなるほど、隣り合う 2 つの数の差も大きくなる傾向があります。

次の表のとおり、指数部 \(\mathrm{E} = 0\) と \(\mathrm{E} = 255\) には特別な意味があり、ゼロ、無限大、\(\mathrm{NaN}\) などを表すために使われます。

表 3-2   指数部の意味

指数部 E 仮数部 \(\mathrm{N} = 0\) 仮数部 \(\mathrm{N} \ne 0\) 計算式
\(0\) \(\pm 0\) 非正規化数 \((-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{-126} \times (0.\mathrm{N})\)
\(1, 2, \dots, 254\) 正規化数 正規化数 \((-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{(\mathrm{E} -127)} \times (1.\mathrm{N})\)
\(255\) \(\pm \infty\) \(\mathrm{NaN}\)

なお、非正規化数によって浮動小数点数の精度は大きく向上します。最小の正の正規化数は \(2^{-126}\) であり、最小の正の非正規化数は \(2^{-126} \times 2^{-23}\) です。

倍精度 double も float と同様の表現方法を採用しているため、ここでは詳述しません。

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