7.1 二分木¶
二分木(binary tree)は非線形データ構造の一種であり、「祖先」と「子孫」の派生関係を表し、「一つを二つに分ける」分割統治の考え方を体現しています。連結リストと同様に、二分木の基本単位はノードであり、各ノードは値、左子ノードへの参照、右子ノードへの参照を含みます。
/* 二分木ノードクラス */
class TreeNode {
val: number;
left: TreeNode | null;
right: TreeNode | null;
constructor(val?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
this.val = val === undefined ? 0 : val; // ノード値
this.left = left === undefined ? null : left; // 左子ノード参照
this.right = right === undefined ? null : right; // 右子ノード参照
}
}
use std::rc::Rc;
use std::cell::RefCell;
/* 二分木ノード構造体 */
struct TreeNode {
val: i32, // ノード値
left: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>, // 左子ノード参照
right: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>, // 右子ノード参照
}
impl TreeNode {
/* コンストラクタ */
fn new(val: i32) -> Rc<RefCell<Self>> {
Rc::new(RefCell::new(Self {
val,
left: None,
right: None
}))
}
}
/* 二分木ノード構造体 */
typedef struct TreeNode {
int val; // ノード値
int height; // ノードの高さ
struct TreeNode *left; // 左子ノードポインタ
struct TreeNode *right; // 右子ノードポインタ
} TreeNode;
/* コンストラクタ */
TreeNode *newTreeNode(int val) {
TreeNode *node;
node = (TreeNode *)malloc(sizeof(TreeNode));
node->val = val;
node->height = 0;
node->left = NULL;
node->right = NULL;
return node;
}
各ノードは 2 つの参照(ポインタ)を持ち、それぞれ左子ノード(left-child node)と右子ノード(right-child node)を指します。このノードはこれら 2 つの子ノードの親ノード(parent node)と呼ばれます。二分木のあるノードが与えられたとき、そのノードの左子ノードとその配下のノードからなる木をそのノードの左部分木(left subtree)と呼び、同様に右部分木(right subtree)が定義されます。
二分木では、葉ノードを除くすべてのノードが子ノードと空でない部分木を持ちます。以下の図に示すように、「ノード 2」を親ノードとみなすと、その左子ノードと右子ノードはそれぞれ「ノード 4」と「ノード 5」であり、左部分木は「ノード 4 とその配下のノードからなる木」、右部分木は「ノード 5 とその配下のノードからなる木」です。

図 7-1 親ノード、子ノード、部分木
7.1.1 二分木のよく使われる用語¶
二分木でよく使われる用語を以下の図に示します。
- 根ノード(root node):二分木の最上位にあるノードで、親ノードを持ちません。
- 葉ノード(leaf node):子ノードを持たないノードで、2 本のポインタはいずれも
Noneを指します。 - 辺(edge):2 つのノードを結ぶ線分、すなわちノード参照(ポインタ)です。
- ノードが属するレベル(level):上から下へ向かって増加し、根ノードのレベルは 1 です。
- ノードの次数(degree):ノードの子ノードの数。二分木では次数の取り得る値は 0、1、2 です。
- 二分木の高さ(height):根ノードから最も遠い葉ノードまでに通る辺の数。
- ノードの深さ(depth):根ノードからそのノードまでに通る辺の数。
- ノードの高さ(height):そのノードから最も遠い葉ノードまでに通る辺の数。

図 7-2 二分木のよく使われる用語
Tip
なお、通常「高さ」と「深さ」は「通過した辺の数」と定義しますが、問題や教材によっては「通過したノードの数」と定義する場合もあります。その場合、高さと深さはいずれも 1 を加える必要があります。
7.1.2 二分木の基本操作¶
1. 二分木を初期化する¶
連結リストと同様に、まずノードを初期化し、その後で参照(ポインタ)を構築します。
// ノードを初期化する
let n1 = TreeNode::new(1);
let n2 = TreeNode::new(2);
let n3 = TreeNode::new(3);
let n4 = TreeNode::new(4);
let n5 = TreeNode::new(5);
// ノード間の参照(ポインタ)を構築する
n1.borrow_mut().left = Some(n2.clone());
n1.borrow_mut().right = Some(n3);
n2.borrow_mut().left = Some(n4);
n2.borrow_mut().right = Some(n5);
実行の可視化
https://pythontutor.com/render.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%E8%8A%82%E7%82%B9%E7%B1%BB%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%3A%20int%20%3D%20val%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%20%23%20%E5%B7%A6%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%23%20%E5%8F%B3%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20n1%20%3D%20TreeNode%28val%3D1%29%0A%20%20%20%20n2%20%3D%20TreeNode%28val%3D2%29%0A%20%20%20%20n3%20%3D%20TreeNode%28val%3D3%29%0A%20%20%20%20n4%20%3D%20TreeNode%28val%3D4%29%0A%20%20%20%20n5%20%3D%20TreeNode%28val%3D5%29%0A%20%20%20%20%23%20%E6%9E%84%E5%BB%BA%E8%8A%82%E7%82%B9%E4%B9%8B%E9%97%B4%E7%9A%84%E5%BC%95%E7%94%A8%EF%BC%88%E6%8C%87%E9%92%88%EF%BC%89%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20n2%0A%20%20%20%20n1.right%20%3D%20n3%0A%20%20%20%20n2.left%20%3D%20n4%0A%20%20%20%20n2.right%20%3D%20n5&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&mode=display&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false
2. ノードの挿入と削除¶
連結リストと同様に、二分木でのノードの挿入と削除はポインタを変更することで実現できます。以下の図に 1 つの例を示します。

図 7-3 二分木でノードを挿入・削除する
実行の可視化
https://pythontutor.com/render.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%E8%8A%82%E7%82%B9%E7%B1%BB%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%3A%20int%20%3D%20val%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%20%23%20%E5%B7%A6%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%23%20%E5%8F%B3%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20n1%20%3D%20TreeNode%28val%3D1%29%0A%20%20%20%20n2%20%3D%20TreeNode%28val%3D2%29%0A%20%20%20%20n3%20%3D%20TreeNode%28val%3D3%29%0A%20%20%20%20n4%20%3D%20TreeNode%28val%3D4%29%0A%20%20%20%20n5%20%3D%20TreeNode%28val%3D5%29%0A%20%20%20%20%23%20%E6%9E%84%E5%BB%BA%E8%8A%82%E7%82%B9%E4%B9%8B%E9%97%B4%E7%9A%84%E5%BC%95%E7%94%A8%EF%BC%88%E6%8C%87%E9%92%88%EF%BC%89%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20n2%0A%20%20%20%20n1.right%20%3D%20n3%0A%20%20%20%20n2.left%20%3D%20n4%0A%20%20%20%20n2.right%20%3D%20n5%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E4%B8%8E%E5%88%A0%E9%99%A4%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20p%20%3D%20TreeNode%280%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%9C%A8%20n1%20-%3E%20n2%20%E4%B8%AD%E9%97%B4%E6%8F%92%E5%85%A5%E8%8A%82%E7%82%B9%20P%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20p%0A%20%20%20%20p.left%20%3D%20n2%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%A0%E9%99%A4%E8%8A%82%E7%82%B9%20P%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20n2&cumulative=false&curInstr=37&heapPrimitives=nevernest&mode=display&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false
Tip
注意すべき点として、ノードの挿入は二分木の元の論理構造を変える可能性があり、ノードの削除は通常、そのノードと配下のすべての部分木の削除を意味します。そのため、二分木における挿入と削除は、実際に意味のある操作を実現するために、通常は一連の操作を組み合わせて行います。
7.1.3 一般的な二分木の種類¶
1. 充足二分木¶
以下の図に示すように、充足二分木(perfect binary tree)ではすべてのレベルのノードが完全に埋まっています。充足二分木では、葉ノードの次数は \(0\) で、それ以外のすべてのノードの次数は \(2\) です。木の高さを \(h\) とすると、ノード総数は \(2^{h+1} - 1\) となり、標準的な指数関係を示して、自然界でよく見られる細胞分裂の現象を反映しています。
Tip
なお、中国語圏では充足二分木は満二分木と呼ばれることもあります。

図 7-4 充足二分木
2. 完全二分木¶
以下の図に示すように、完全二分木(complete binary tree)では最下層のノードだけが完全に埋まっていなくてもよく、しかも最下層のノードは左から右へ連続して詰められていなければなりません。なお、充足二分木も完全二分木の一種です。

図 7-5 完全二分木
3. 充満二分木¶
以下の図に示すように、充満二分木(full binary tree)では、葉ノードを除くすべてのノードが 2 つの子ノードを持ちます。

図 7-6 充満二分木
4. 平衡二分木¶
以下の図に示すように、平衡二分木(balanced binary tree)では、任意のノードについて左部分木と右部分木の高さの差の絶対値が 1 を超えません。

図 7-7 平衡二分木
7.1.4 二分木の退化¶
以下の図は、二分木の理想的な構造と退化した構造を示しています。二分木の各レベルのノードがすべて埋まっていると「充足二分木」となり、すべてのノードが片側に偏ると二分木は「連結リスト」へ退化します。
- 充足二分木は理想的なケースであり、二分木の「分割統治」の利点を十分に発揮できます。
- 連結リストはその対極にあり、各種操作はすべて線形操作となり、時間計算量は \(O(n)\) まで退化します。

図 7-8 二分木の最良構造と最悪構造
以下の表に示すように、最良構造と最悪構造では、二分木の葉ノード数、ノード総数、高さなどが極大または極小になります。
表 7-1 二分木の最良構造と最悪構造
| 充足二分木 | 連結リスト | |
|---|---|---|
| 第 \(i\) レベルのノード数 | \(2^{i-1}\) | \(1\) |
| 高さ \(h\) の木の葉ノード数 | \(2^h\) | \(1\) |
| 高さ \(h\) の木のノード総数 | \(2^{h+1} - 1\) | \(h + 1\) |
| ノード総数 \(n\) の木の高さ | \(\log_2 (n+1) - 1\) | \(n - 1\) |