8.3 Top-k 問題¶

Question

長さ \(n\) の未整列配列 nums が与えられたとき、配列内で最大の \(k\) 個の要素を返してください。

この問題について、まずは発想が比較的直接的な 2 つの解法を紹介し、その後でより効率の高いヒープ解法を紹介します。

8.3.1 方法一：走査による選択¶

以下の図に示すように \(k\) 回の走査を行い、各ラウンドでそれぞれ第 \(1\)、\(2\)、\(\dots\)、\(k\) 位の要素を取り出すことができます。時間計算量は \(O(nk)\) です。

この方法は \(k \ll n\) の場合にしか適していません。\(k\) が \(n\) にかなり近いと、時間計算量は \(O(n^2)\) に近づき、非常に時間がかかるためです。

走査によって最大の k 個の要素を探す

図 8-6 走査によって最大の k 個の要素を探す

Tip

\(k = n\) のとき、完全な昇順列を得ることができ、この場合は「選択ソート」アルゴリズムと等価になります。

8.3.2 方法二：ソート¶

以下の図に示すように、まず配列 nums をソートし、その後で右端の \(k\) 個の要素を返すことができます。時間計算量は \(O(n \log n)\) です。

明らかに、この方法は必要以上の処理を行っています。なぜなら、必要なのは最大の \(k\) 個の要素を見つけることだけであり、他の要素をソートする必要はないからです。

ソートによって最大の k 個の要素を探す

図 8-7 ソートによって最大の k 個の要素を探す

8.3.3 方法三：ヒープ¶

ヒープを用いることで、Top-k 問題をより効率的に解くことができます。手順は以下の図のとおりです。

最小ヒープを初期化し、そのヒープ頂点の要素が最小となるようにします。
まず配列の先頭 \(k\) 個の要素を順にヒープへ挿入します。
\(k + 1\) 番目の要素から開始し、現在の要素がヒープ頂点の要素より大きければ、ヒープ頂点の要素を取り出し、現在の要素をヒープへ挿入します。
走査が完了した後、ヒープに保持されているのが最大の \(k\) 個の要素です。

図 8-8 ヒープに基づいて最大の k 個の要素を探す

サンプルコードは以下のとおりです。

PythonC++JavaC#GoSwiftJSTSDartRustCKotlinRuby

top_k.py

def top_k_heap(nums: list[int], k: int) -> list[int]:
    """ヒープに基づいて配列中の最大の k 個の要素を探す"""
    # 最小ヒープを初期化
    heap = []
    # 配列の先頭 k 個の要素をヒープに追加
    for i in range(k):
        heapq.heappush(heap, nums[i])
    # k+1 番目の要素から開始し、ヒープ長を k に保つ
    for i in range(k, len(nums)):
        # 現在の要素がヒープ先頭より大きければ、ヒープ先頭を取り出して現在の要素を追加する
        if nums[i] > heap[0]:
            heapq.heappop(heap)
            heapq.heappush(heap, nums[i])
    return heap

top_k.cpp

/* ヒープに基づいて配列中の最大の k 個の要素を探す */
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> topKHeap(vector<int> &nums, int k) {
    // 最小ヒープを初期化
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> heap;
    // 配列の先頭 k 個の要素をヒープに追加
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        heap.push(nums[i]);
    }
    // k+1 番目の要素から開始し、ヒープ長を k に保つ
    for (int i = k; i < nums.size(); i++) {
        // 現在の要素がヒープ先頭より大きければ、ヒープ先頭を取り出して現在の要素を追加する
        if (nums[i] > heap.top()) {
            heap.pop();
            heap.push(nums[i]);
        }
    }
    return heap;
}

top_k.java

/* ヒープに基づいて配列中の最大の k 個の要素を探す */
Queue<Integer> topKHeap(int[] nums, int k) {
    // 最小ヒープを初期化
    Queue<Integer> heap = new PriorityQueue<Integer>();
    // 配列の先頭 k 個の要素をヒープに追加
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        heap.offer(nums[i]);
    }
    // k+1 番目の要素から開始し、ヒープ長を k に保つ
    for (int i = k; i < nums.length; i++) {
        // 現在の要素がヒープ先頭より大きければ、ヒープ先頭を取り出して現在の要素を追加する
        if (nums[i] > heap.peek()) {
            heap.poll();
            heap.offer(nums[i]);
        }
    }
    return heap;
}

top_k.cs

/* ヒープに基づいて配列中の最大の k 個の要素を探す */
PriorityQueue<int, int> TopKHeap(int[] nums, int k) {
    // 最小ヒープを初期化
    PriorityQueue<int, int> heap = new();
    // 配列の先頭 k 個の要素をヒープに追加
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        heap.Enqueue(nums[i], nums[i]);
    }
    // k+1 番目の要素から開始し、ヒープ長を k に保つ
    for (int i = k; i < nums.Length; i++) {
        // 現在の要素がヒープ先頭より大きければ、ヒープ先頭を取り出して現在の要素を追加する
        if (nums[i] > heap.Peek()) {
            heap.Dequeue();
            heap.Enqueue(nums[i], nums[i]);
        }
    }
    return heap;
}

top_k.go

/* ヒープに基づいて配列中の最大の k 個の要素を探す */
func topKHeap(nums []int, k int) *minHeap {
    // 最小ヒープを初期化
    h := &minHeap{}
    heap.Init(h)
    // 配列の先頭 k 個の要素をヒープに追加
    for i := 0; i < k; i++ {
        heap.Push(h, nums[i])
    }
    // k+1 番目の要素から開始し、ヒープ長を k に保つ
    for i := k; i < len(nums); i++ {
        // 現在の要素がヒープ先頭より大きければ、ヒープ先頭を取り出して現在の要素を追加する
        if nums[i] > h.Top().(int) {
            heap.Pop(h)
            heap.Push(h, nums[i])
        }
    }
    return h
}

top_k.swift

/* ヒープに基づいて配列中の最大の k 個の要素を探す */
func topKHeap(nums: [Int], k: Int) -> [Int] {
    // 最小ヒープを初期化し、先頭 k 個の要素でヒープを構築する
    var heap = Heap(nums.prefix(k))
    // k+1 番目の要素から開始し、ヒープ長を k に保つ
    for i in nums.indices.dropFirst(k) {
        // 現在の要素がヒープ先頭より大きければ、ヒープ先頭を取り出して現在の要素を追加する
        if nums[i] > heap.min()! {
            _ = heap.removeMin()
            heap.insert(nums[i])
        }
    }
    return heap.unordered
}

top_k.js

/* 要素をヒープに追加 */
function pushMinHeap(maxHeap, val) {
    // 要素を反転する
    maxHeap.push(-val);
}

/* 要素をヒープから取り出す */
function popMinHeap(maxHeap) {
    // 要素を反転する
    return -maxHeap.pop();
}

/* ヒープ先頭要素にアクセス */
function peekMinHeap(maxHeap) {
    // 要素を反転する
    return -maxHeap.peek();
}

/* ヒープから要素を取り出す */
function getMinHeap(maxHeap) {
    // 要素を反転する
    return maxHeap.getMaxHeap().map((num) => -num);
}

/* ヒープに基づいて配列中の最大の k 個の要素を探す */
function topKHeap(nums, k) {
    // 最小ヒープを初期化する
    // 注意: ヒープ内の全要素を反転し、最大ヒープで最小ヒープをシミュレートする
    const maxHeap = new MaxHeap([]);
    // 配列の先頭 k 個の要素をヒープに追加
    for (let i = 0; i < k; i++) {
        pushMinHeap(maxHeap, nums[i]);
    }
    // k+1 番目の要素から開始し、ヒープ長を k に保つ
    for (let i = k; i < nums.length; i++) {
        // 現在の要素がヒープ先頭より大きければ、ヒープ先頭を取り出して現在の要素を追加する
        if (nums[i] > peekMinHeap(maxHeap)) {
            popMinHeap(maxHeap);
            pushMinHeap(maxHeap, nums[i]);
        }
    }
    // ヒープ内の要素を返す
    return getMinHeap(maxHeap);
}

top_k.ts

/* 要素をヒープに追加 */
function pushMinHeap(maxHeap: MaxHeap, val: number): void {
    // 要素を反転する
    maxHeap.push(-val);
}

/* 要素をヒープから取り出す */
function popMinHeap(maxHeap: MaxHeap): number {
    // 要素を反転する
    return -maxHeap.pop();
}

/* ヒープ先頭要素にアクセス */
function peekMinHeap(maxHeap: MaxHeap): number {
    // 要素を反転する
    return -maxHeap.peek();
}

/* ヒープから要素を取り出す */
function getMinHeap(maxHeap: MaxHeap): number[] {
    // 要素を反転する
    return maxHeap.getMaxHeap().map((num: number) => -num);
}

/* ヒープに基づいて配列中の最大の k 個の要素を探す */
function topKHeap(nums: number[], k: number): number[] {
    // 最小ヒープを初期化する
    // 注意: ヒープ内の全要素を反転し、最大ヒープで最小ヒープをシミュレートする
    const maxHeap = new MaxHeap([]);
    // 配列の先頭 k 個の要素をヒープに追加
    for (let i = 0; i < k; i++) {
        pushMinHeap(maxHeap, nums[i]);
    }
    // k+1 番目の要素から開始し、ヒープ長を k に保つ
    for (let i = k; i < nums.length; i++) {
        // 現在の要素がヒープ先頭より大きければ、ヒープ先頭を取り出して現在の要素を追加する
        if (nums[i] > peekMinHeap(maxHeap)) {
            popMinHeap(maxHeap);
            pushMinHeap(maxHeap, nums[i]);
        }
    }
    // ヒープ内の要素を返す
    return getMinHeap(maxHeap);
}

top_k.dart

/* ヒープに基づいて配列中の最大の k 個の要素を探す */
MinHeap topKHeap(List<int> nums, int k) {
  // 最小ヒープを初期化し、配列の先頭 k 個の要素をヒープに入れる
  MinHeap heap = MinHeap(nums.sublist(0, k));
  // k+1 番目の要素から開始し、ヒープ長を k に保つ
  for (int i = k; i < nums.length; i++) {
    // 現在の要素がヒープ先頭より大きければ、ヒープ先頭を取り出して現在の要素を追加する
    if (nums[i] > heap.peek()) {
      heap.pop();
      heap.push(nums[i]);
    }
  }
  return heap;
}

top_k.rs

/* ヒープに基づいて配列中の最大の k 個の要素を探す */
fn top_k_heap(nums: Vec<i32>, k: usize) -> BinaryHeap<Reverse<i32>> {
    // BinaryHeap は最大ヒープであり、Reverse で要素の順序を反転することで最小ヒープを実現する
    let mut heap = BinaryHeap::<Reverse<i32>>::new();
    // 配列の先頭 k 個の要素をヒープに追加
    for &num in nums.iter().take(k) {
        heap.push(Reverse(num));
    }
    // k+1 番目の要素から開始し、ヒープ長を k に保つ
    for &num in nums.iter().skip(k) {
        // 現在の要素がヒープ先頭より大きければ、ヒープ先頭を取り出して現在の要素を追加する
        if num > heap.peek().unwrap().0 {
            heap.pop();
            heap.push(Reverse(num));
        }
    }
    heap
}

top_k.c

/* 要素をヒープに追加 */
void pushMinHeap(MaxHeap *maxHeap, int val) {
    // 要素を反転する
    push(maxHeap, -val);
}

/* 要素をヒープから取り出す */
int popMinHeap(MaxHeap *maxHeap) {
    // 要素を反転する
    return -pop(maxHeap);
}

/* ヒープ先頭要素にアクセス */
int peekMinHeap(MaxHeap *maxHeap) {
    // 要素を反転する
    return -peek(maxHeap);
}

/* ヒープから要素を取り出す */
int *getMinHeap(MaxHeap *maxHeap) {
    // ヒープ内のすべての要素を反転して res 配列に格納
    int *res = (int *)malloc(maxHeap->size * sizeof(int));
    for (int i = 0; i < maxHeap->size; i++) {
        res[i] = -maxHeap->data[i];
    }
    return res;
}

/* ヒープから要素を取り出す */
int *getMinHeap(MaxHeap *maxHeap) {
    // ヒープ内のすべての要素を反転して res 配列に格納
    int *res = (int *)malloc(maxHeap->size * sizeof(int));
    for (int i = 0; i < maxHeap->size; i++) {
        res[i] = -maxHeap->data[i];
    }
    return res;
}

// ヒープに基づいて配列中の最大の k 個の要素を求める関数
int *topKHeap(int *nums, int sizeNums, int k) {
    // 最小ヒープを初期化する
    // 注意: ヒープ内の全要素を反転し、最大ヒープで最小ヒープをシミュレートする
    int *empty = (int *)malloc(0);
    MaxHeap *maxHeap = newMaxHeap(empty, 0);
    // 配列の先頭 k 個の要素をヒープに追加
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        pushMinHeap(maxHeap, nums[i]);
    }
    // k+1 番目の要素から開始し、ヒープ長を k に保つ
    for (int i = k; i < sizeNums; i++) {
        // 現在の要素がヒープ先頭より大きければ、ヒープ先頭を取り出して現在の要素を追加する
        if (nums[i] > peekMinHeap(maxHeap)) {
            popMinHeap(maxHeap);
            pushMinHeap(maxHeap, nums[i]);
        }
    }
    int *res = getMinHeap(maxHeap);
    // メモリを解放する
    delMaxHeap(maxHeap);
    return res;
}

top_k.kt

/* ヒープに基づいて配列中の最大の k 個の要素を探す */
fun topKHeap(nums: IntArray, k: Int): Queue<Int> {
    // 最小ヒープを初期化
    val heap = PriorityQueue<Int>()
    // 配列の先頭 k 個の要素をヒープに追加
    for (i in 0..<k) {
        heap.offer(nums[i])
    }
    // k+1 番目の要素から開始し、ヒープ長を k に保つ
    for (i in k..<nums.size) {
        // 現在の要素がヒープ先頭より大きければ、ヒープ先頭を取り出して現在の要素を追加する
        if (nums[i] > heap.peek()) {
            heap.poll()
            heap.offer(nums[i])
        }
    }
    return heap
}

top_k.rb

### ヒープに基づいて配列中の最大 k 個の要素を探す ###
def top_k_heap(nums, k)
  # 最小ヒープを初期化する
  # 注意: ヒープ内の全要素を反転し、最大ヒープで最小ヒープをシミュレートする
  max_heap = MaxHeap.new([])

  # 配列の先頭 k 個の要素をヒープに追加
  for i in 0...k
    push_min_heap(max_heap, nums[i])
  end

  # k+1 番目の要素から開始し、ヒープ長を k に保つ
  for i in k...nums.length
    # 現在の要素がヒープ先頭より大きければ、ヒープ先頭を取り出して現在の要素を追加する
    if nums[i] > peek_min_heap(max_heap)
      pop_min_heap(max_heap)
      push_min_heap(max_heap, nums[i])
    end
  end

  get_min_heap(max_heap)
end

コードの可視化

全画面で見る >

合計で \(n\) 回のヒープ挿入と取り出しを行い、ヒープの最大長は \(k\) であるため、時間計算量は \(O(n \log k)\) です。この方法は非常に効率が高く、\(k\) が小さいときは時間計算量が \(O(n)\) に近づき、\(k\) が大きいときでも \(O(n \log n)\) を超えることはありません。

さらに、この方法は動的データストリームの利用シーンにも適しています。データが継続的に追加される場合でも、ヒープ内の要素を保ち続けることで、最大の \(k\) 個の要素を動的に更新できます。

8.3 Top-k 問題¶

8.3.1 方法一：走査による選択¶

8.3.2 方法二：ソート¶

8.3.3 方法三：ヒープ¶

ご意見、ご質問、ご提案があればぜひコメントしてください