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10.2   二分搜尋插入點

二分搜尋不僅可用於搜尋目標元素，還可用於解決許多變種問題，比如搜尋目標元素的插入位置。

10.2.1   無重複元素的情況

Question

給定一個長度為 \(n\) 的有序陣列 nums 和一個元素 target ，陣列不存在重複元素。現將 target 插入陣列 nums 中，並保持其有序性。若陣列中已存在元素 target ，則插入到其左方。請返回插入後 target 在陣列中的索引。示例如圖 10-4 所示。

二分搜尋插入點示例資料

圖 10-4   二分搜尋插入點示例資料

如果想複用上一節的二分搜尋程式碼，則需要回答以下兩個問題。

問題一：當陣列中包含 target 時，插入點的索引是否是該元素的索引？

題目要求將 target 插入到相等元素的左邊，這意味著新插入的 target 替換了原來 target 的位置。也就是說，當陣列包含 target 時，插入點的索引就是該 target 的索引。

問題二：當陣列中不存在 target 時，插入點是哪個元素的索引？

進一步思考二分搜尋過程：當 nums[m] < target 時 \(i\) 移動，這意味著指標 \(i\) 在向大於等於 target 的元素靠近。同理，指標 \(j\) 始終在向小於等於 target 的元素靠近。

因此二分結束時一定有：\(i\) 指向首個大於 target 的元素，\(j\) 指向首個小於 target 的元素。易得當陣列不包含 target 時，插入索引為 \(i\) 。程式碼如下所示：

binary_search_insertion.py
def binary_search_insertion_simple(nums: list[int], target: int) -> int:
    """二分搜尋插入點（無重複元素）"""
    i, j = 0, len(nums) - 1  # 初始化雙閉區間 [0, n-1]
    while i <= j:
        m = (i + j) // 2  # 計算中點索引 m
        if nums[m] < target:
            i = m + 1  # target 在區間 [m+1, j] 中
        elif nums[m] > target:
            j = m - 1  # target 在區間 [i, m-1] 中
        else:
            return m  # 找到 target ，返回插入點 m
    # 未找到 target ，返回插入點 i
    return i
binary_search_insertion.cpp
/* 二分搜尋插入點（無重複元素） */
int binarySearchInsertionSimple(vector<int> &nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.size() - 1; // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 計算中點索引 m
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
        } else {
            return m; // 找到 target ，返回插入點 m
        }
    }
    // 未找到 target ，返回插入點 i
    return i;
}
binary_search_insertion.java
/* 二分搜尋插入點（無重複元素） */
int binarySearchInsertionSimple(int[] nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 計算中點索引 m
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
        } else {
            return m; // 找到 target ，返回插入點 m
        }
    }
    // 未找到 target ，返回插入點 i
    return i;
}
binary_search_insertion.cs
/* 二分搜尋插入點（無重複元素） */
int BinarySearchInsertionSimple(int[] nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.Length - 1; // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 計算中點索引 m
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
        } else {
            return m; // 找到 target ，返回插入點 m
        }
    }
    // 未找到 target ，返回插入點 i
    return i;
}
binary_search_insertion.go
/* 二分搜尋插入點（無重複元素） */
func binarySearchInsertionSimple(nums []int, target int) int {
    // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
    i, j := 0, len(nums)-1
    for i <= j {
        // 計算中點索引 m
        m := i + (j-i)/2
        if nums[m] < target {
            // target 在區間 [m+1, j] 中
            i = m + 1
        } else if nums[m] > target {
            // target 在區間 [i, m-1] 中
            j = m - 1
        } else {
            // 找到 target ，返回插入點 m
            return m
        }
    }
    // 未找到 target ，返回插入點 i
    return i
}
binary_search_insertion.swift
/* 二分搜尋插入點（無重複元素） */
func binarySearchInsertionSimple(nums: [Int], target: Int) -> Int {
    // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
    var i = nums.startIndex
    var j = nums.endIndex - 1
    while i <= j {
        let m = i + (j - i) / 2 // 計算中點索引 m
        if nums[m] < target {
            i = m + 1 // target 在區間 [m+1, j] 中
        } else if nums[m] > target {
            j = m - 1 // target 在區間 [i, m-1] 中
        } else {
            return m // 找到 target ，返回插入點 m
        }
    }
    // 未找到 target ，返回插入點 i
    return i
}
binary_search_insertion.js
/* 二分搜尋插入點（無重複元素） */
function binarySearchInsertionSimple(nums, target) {
    let i = 0,
        j = nums.length - 1; // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        const m = Math.floor(i + (j - i) / 2); // 計算中點索引 m, 使用 Math.floor() 向下取整
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
        } else {
            return m; // 找到 target ，返回插入點 m
        }
    }
    // 未找到 target ，返回插入點 i
    return i;
}
binary_search_insertion.ts
/* 二分搜尋插入點（無重複元素） */
function binarySearchInsertionSimple(
    nums: Array<number>,
    target: number
): number {
    let i = 0,
        j = nums.length - 1; // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        const m = Math.floor(i + (j - i) / 2); // 計算中點索引 m, 使用 Math.floor() 向下取整
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
        } else {
            return m; // 找到 target ，返回插入點 m
        }
    }
    // 未找到 target ，返回插入點 i
    return i;
}
binary_search_insertion.dart
/* 二分搜尋插入點（無重複元素） */
int binarySearchInsertionSimple(List<int> nums, int target) {
  int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
  while (i <= j) {
    int m = i + (j - i) ~/ 2; // 計算中點索引 m
    if (nums[m] < target) {
      i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
    } else if (nums[m] > target) {
      j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
    } else {
      return m; // 找到 target ，返回插入點 m
    }
  }
  // 未找到 target ，返回插入點 i
  return i;
}
binary_search_insertion.rs
/* 二分搜尋插入點（無重複元素） */
fn binary_search_insertion_simple(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
    let (mut i, mut j) = (0, nums.len() as i32 - 1); // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
    while i <= j {
        let m = i + (j - i) / 2; // 計算中點索引 m
        if nums[m as usize] < target {
            i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
        } else if nums[m as usize] > target {
            j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
        } else {
            return m;
        }
    }
    // 未找到 target ，返回插入點 i
    i
}
binary_search_insertion.c
/* 二分搜尋插入點（無重複元素） */
int binarySearchInsertionSimple(int *nums, int numSize, int target) {
    int i = 0, j = numSize - 1; // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 計算中點索引 m
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
        } else {
            return m; // 找到 target ，返回插入點 m
        }
    }
    // 未找到 target ，返回插入點 i
    return i;
}
binary_search_insertion.kt
/* 二分搜尋插入點（無重複元素） */
fun binarySearchInsertionSimple(nums: IntArray, target: Int): Int {
    var i = 0
    var j = nums.size - 1 // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        val m = i + (j - i) / 2 // 計算中點索引 m
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1 // target 在區間 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1 // target 在區間 [i, m-1] 中
        } else {
            return m // 找到 target ，返回插入點 m
        }
    }
    // 未找到 target ，返回插入點 i
    return i
}
binary_search_insertion.rb
### 二分搜尋插入點（無重複元素） ###
def binary_search_insertion_simple(nums, target)
  # 初始化雙閉區間 [0, n-1]
  i, j = 0, nums.length - 1

  while i <= j
    # 計算中點索引 m
    m = (i + j) / 2

    if nums[m] < target
      i = m + 1 # target 在區間 [m+1, j] 中
    elsif nums[m] > target
      j = m - 1 # target 在區間 [i, m-1] 中
    else
      return m  # 找到 target ，返回插入點 m
    end
  end

  i # 未找到 target ，返回插入點 i
end
binary_search_insertion.zig
[class]{}-[func]{binarySearchInsertionSimple}
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10.2.2   存在重複元素的情況

Question

在上一題的基礎上，規定陣列可能包含重複元素，其餘不變。

假設陣列中存在多個 target ，則普通二分搜尋只能返回其中一個 target 的索引，而無法確定該元素的左邊和右邊還有多少 target。

題目要求將目標元素插入到最左邊，所以我們需要查詢陣列中最左一個 target 的索引。初步考慮透過圖 10-5 所示的步驟實現。

  1. 執行二分搜尋，得到任意一個 target 的索引，記為 \(k\) 。
  2. 從索引 \(k\) 開始，向左進行線性走訪，當找到最左邊的 target 時返回。

線性查詢重複元素的插入點

圖 10-5   線性查詢重複元素的插入點

此方法雖然可用，但其包含線性查詢，因此時間複雜度為 \(O(n)\) 。當陣列中存在很多重複的 target 時，該方法效率很低。

現考慮拓展二分搜尋程式碼。如圖 10-6 所示，整體流程保持不變，每輪先計算中點索引 \(m\) ，再判斷 target 和 nums[m] 的大小關係，分為以下幾種情況。

  • 當 nums[m] < target 或 nums[m] > target 時，說明還沒有找到 target ，因此採用普通二分搜尋的縮小區間操作，從而使指標 \(i\) 和 \(j\) 向 target 靠近。
  • 當 nums[m] == target 時，說明小於 target 的元素在區間 \([i, m - 1]\) 中，因此採用 \(j = m - 1\) 來縮小區間，從而使指標 \(j\) 向小於 target 的元素靠近。

迴圈完成後，\(i\) 指向最左邊的 target ，\(j\) 指向首個小於 target 的元素，因此索引 \(i\) 就是插入點。

二分搜尋重複元素的插入點的步驟

binary_search_insertion_step2

binary_search_insertion_step3

binary_search_insertion_step4

binary_search_insertion_step5

binary_search_insertion_step6

binary_search_insertion_step7

binary_search_insertion_step8

圖 10-6   二分搜尋重複元素的插入點的步驟

觀察以下程式碼，判斷分支 nums[m] > target 和 nums[m] == target 的操作相同，因此兩者可以合併。

即便如此，我們仍然可以將判斷條件保持展開，因為其邏輯更加清晰、可讀性更好。

binary_search_insertion.py
def binary_search_insertion(nums: list[int], target: int) -> int:
    """二分搜尋插入點（存在重複元素）"""
    i, j = 0, len(nums) - 1  # 初始化雙閉區間 [0, n-1]
    while i <= j:
        m = (i + j) // 2  # 計算中點索引 m
        if nums[m] < target:
            i = m + 1  # target 在區間 [m+1, j] 中
        elif nums[m] > target:
            j = m - 1  # target 在區間 [i, m-1] 中
        else:
            j = m - 1  # 首個小於 target 的元素在區間 [i, m-1] 中
    # 返回插入點 i
    return i
binary_search_insertion.cpp
/* 二分搜尋插入點（存在重複元素） */
int binarySearchInsertion(vector<int> &nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.size() - 1; // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 計算中點索引 m
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
        } else {
            j = m - 1; // 首個小於 target 的元素在區間 [i, m-1] 中
        }
    }
    // 返回插入點 i
    return i;
}
binary_search_insertion.java
/* 二分搜尋插入點（存在重複元素） */
int binarySearchInsertion(int[] nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 計算中點索引 m
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
        } else {
            j = m - 1; // 首個小於 target 的元素在區間 [i, m-1] 中
        }
    }
    // 返回插入點 i
    return i;
}
binary_search_insertion.cs
/* 二分搜尋插入點（存在重複元素） */
int BinarySearchInsertion(int[] nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.Length - 1; // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 計算中點索引 m
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
        } else {
            j = m - 1; // 首個小於 target 的元素在區間 [i, m-1] 中
        }
    }
    // 返回插入點 i
    return i;
}
binary_search_insertion.go
/* 二分搜尋插入點（存在重複元素） */
func binarySearchInsertion(nums []int, target int) int {
    // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
    i, j := 0, len(nums)-1
    for i <= j {
        // 計算中點索引 m
        m := i + (j-i)/2
        if nums[m] < target {
            // target 在區間 [m+1, j] 中
            i = m + 1
        } else if nums[m] > target {
            // target 在區間 [i, m-1] 中
            j = m - 1
        } else {
            // 首個小於 target 的元素在區間 [i, m-1] 中
            j = m - 1
        }
    }
    // 返回插入點 i
    return i
}
binary_search_insertion.swift
/* 二分搜尋插入點（存在重複元素） */
func binarySearchInsertion(nums: [Int], target: Int) -> Int {
    // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
    var i = nums.startIndex
    var j = nums.endIndex - 1
    while i <= j {
        let m = i + (j - i) / 2 // 計算中點索引 m
        if nums[m] < target {
            i = m + 1 // target 在區間 [m+1, j] 中
        } else if nums[m] > target {
            j = m - 1 // target 在區間 [i, m-1] 中
        } else {
            j = m - 1 // 首個小於 target 的元素在區間 [i, m-1] 中
        }
    }
    // 返回插入點 i
    return i
}
binary_search_insertion.js
/* 二分搜尋插入點（存在重複元素） */
function binarySearchInsertion(nums, target) {
    let i = 0,
        j = nums.length - 1; // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        const m = Math.floor(i + (j - i) / 2); // 計算中點索引 m, 使用 Math.floor() 向下取整
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
        } else {
            j = m - 1; // 首個小於 target 的元素在區間 [i, m-1] 中
        }
    }
    // 返回插入點 i
    return i;
}
binary_search_insertion.ts
/* 二分搜尋插入點（存在重複元素） */
function binarySearchInsertion(nums: Array<number>, target: number): number {
    let i = 0,
        j = nums.length - 1; // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        const m = Math.floor(i + (j - i) / 2); // 計算中點索引 m, 使用 Math.floor() 向下取整
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
        } else {
            j = m - 1; // 首個小於 target 的元素在區間 [i, m-1] 中
        }
    }
    // 返回插入點 i
    return i;
}
binary_search_insertion.dart
/* 二分搜尋插入點（存在重複元素） */
int binarySearchInsertion(List<int> nums, int target) {
  int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
  while (i <= j) {
    int m = i + (j - i) ~/ 2; // 計算中點索引 m
    if (nums[m] < target) {
      i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
    } else if (nums[m] > target) {
      j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
    } else {
      j = m - 1; // 首個小於 target 的元素在區間 [i, m-1] 中
    }
  }
  // 返回插入點 i
  return i;
}
binary_search_insertion.rs
/* 二分搜尋插入點（存在重複元素） */
pub fn binary_search_insertion(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
    let (mut i, mut j) = (0, nums.len() as i32 - 1); // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
    while i <= j {
        let m = i + (j - i) / 2; // 計算中點索引 m
        if nums[m as usize] < target {
            i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
        } else if nums[m as usize] > target {
            j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
        } else {
            j = m - 1; // 首個小於 target 的元素在區間 [i, m-1] 中
        }
    }
    // 返回插入點 i
    i
}
binary_search_insertion.c
/* 二分搜尋插入點（存在重複元素） */
int binarySearchInsertion(int *nums, int numSize, int target) {
    int i = 0, j = numSize - 1; // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 計算中點索引 m
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
        } else {
            j = m - 1; // 首個小於 target 的元素在區間 [i, m-1] 中
        }
    }
    // 返回插入點 i
    return i;
}
binary_search_insertion.kt
/* 二分搜尋插入點（存在重複元素） */
fun binarySearchInsertion(nums: IntArray, target: Int): Int {
    var i = 0
    var j = nums.size - 1 // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        val m = i + (j - i) / 2 // 計算中點索引 m
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1 // target 在區間 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1 // target 在區間 [i, m-1] 中
        } else {
            j = m - 1 // 首個小於 target 的元素在區間 [i, m-1] 中
        }
    }
    // 返回插入點 i
    return i
}
binary_search_insertion.rb
### 二分搜尋插入點（存在重複元素） ###
def binary_search_insertion(nums, target)
  # 初始化雙閉區間 [0, n-1]
  i, j = 0, nums.length - 1

  while i <= j
    # 計算中點索引 m
    m = (i + j) / 2

    if nums[m] < target
      i = m + 1 # target 在區間 [m+1, j] 中
    elsif nums[m] > target
      j = m - 1 # target 在區間 [i, m-1] 中
    else
      j = m - 1 # 首個小於 target 的元素在區間 [i, m-1] 中
    end
  end

  i # 返回插入點 i
end
binary_search_insertion.zig
[class]{}-[func]{binarySearchInsertion}
視覺化執行

Tip

本節的程式碼都是“雙閉區間”寫法。有興趣的讀者可以自行實現“左閉右開”寫法。

總的來看，二分搜尋無非就是給指標 \(i\) 和 \(j\) 分別設定搜尋目標，目標可能是一個具體的元素（例如 target ），也可能是一個元素範圍（例如小於 target 的元素）。

在不斷的迴圈二分中，指標 \(i\) 和 \(j\) 都逐漸逼近預先設定的目標。最終，它們或是成功找到答案，或是越過邊界後停止。