11.8   桶排序

前述幾種排序演算法都屬於“基於比較的排序演算法”，它們透過比較元素間的大小來實現排序。此類排序演算法的時間複雜度無法超越 \(O(n \log n)\) 。接下來，我們將探討幾種“非比較排序演算法”，它們的時間複雜度可以達到線性階。

桶排序（bucket sort）是分治策略的一個典型應用。它透過設定一些具有大小順序的桶，每個桶對應一個數據範圍，將資料平均分配到各個桶中；然後，在每個桶內部分別執行排序；最終按照桶的順序將所有資料合併。

11.8.1   演算法流程

考慮一個長度為 \(n\) 的陣列，其元素是範圍 \([0, 1)\) 內的浮點數。桶排序的流程如圖 11-13 所示。

1. 初始化 \(k\) 個桶，將 \(n\) 個元素分配到 \(k\) 個桶中。
2. 對每個桶分別執行排序（這裡採用程式語言的內建排序函式）。
3. 按照桶從小到大的順序合併結果。

圖 11-13   桶排序演算法流程

程式碼如下所示：

PythonC++JavaC#GoSwiftJSTSDartRustCKotlinRubyZig

bucket_sort.py

def bucket_sort(nums: list[float]):
    """桶排序"""
    # 初始化 k = n/2 個桶，預期向每個桶分配 2 個元素
    k = len(nums) // 2
    buckets = [[] for _ in range(k)]
    # 1. 將陣列元素分配到各個桶中
    for num in nums:
        # 輸入資料範圍為 [0, 1)，使用 num * k 對映到索引範圍 [0, k-1]
        i = int(num * k)
        # 將 num 新增進桶 i
        buckets[i].append(num)
    # 2. 對各個桶執行排序
    for bucket in buckets:
        # 使用內建排序函式，也可以替換成其他排序演算法
        bucket.sort()
    # 3. 走訪桶合併結果
    i = 0
    for bucket in buckets:
        for num in bucket:
            nums[i] = num
            i += 1

bucket_sort.cpp

/* 桶排序 */
void bucketSort(vector<float> &nums) {
    // 初始化 k = n/2 個桶，預期向每個桶分配 2 個元素
    int k = nums.size() / 2;
    vector<vector<float>> buckets(k);
    // 1. 將陣列元素分配到各個桶中
    for (float num : nums) {
        // 輸入資料範圍為 [0, 1)，使用 num * k 對映到索引範圍 [0, k-1]
        int i = num * k;
        // 將 num 新增進桶 bucket_idx
        buckets[i].push_back(num);
    }
    // 2. 對各個桶執行排序
    for (vector<float> &bucket : buckets) {
        // 使用內建排序函式，也可以替換成其他排序演算法
        sort(bucket.begin(), bucket.end());
    }
    // 3. 走訪桶合併結果
    int i = 0;
    for (vector<float> &bucket : buckets) {
        for (float num : bucket) {
            nums[i++] = num;
        }
    }
}

bucket_sort.java

/* 桶排序 */
void bucketSort(float[] nums) {
    // 初始化 k = n/2 個桶，預期向每個桶分配 2 個元素
    int k = nums.length / 2;
    List<List<Float>> buckets = new ArrayList<>();
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        buckets.add(new ArrayList<>());
    }
    // 1. 將陣列元素分配到各個桶中
    for (float num : nums) {
        // 輸入資料範圍為 [0, 1)，使用 num * k 對映到索引範圍 [0, k-1]
        int i = (int) (num * k);
        // 將 num 新增進桶 i
        buckets.get(i).add(num);
    }
    // 2. 對各個桶執行排序
    for (List<Float> bucket : buckets) {
        // 使用內建排序函式，也可以替換成其他排序演算法
        Collections.sort(bucket);
    }
    // 3. 走訪桶合併結果
    int i = 0;
    for (List<Float> bucket : buckets) {
        for (float num : bucket) {
            nums[i++] = num;
        }
    }
}

bucket_sort.cs

/* 桶排序 */
void BucketSort(float[] nums) {
    // 初始化 k = n/2 個桶，預期向每個桶分配 2 個元素
    int k = nums.Length / 2;
    List<List<float>> buckets = [];
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        buckets.Add([]);
    }
    // 1. 將陣列元素分配到各個桶中
    foreach (float num in nums) {
        // 輸入資料範圍為 [0, 1)，使用 num * k 對映到索引範圍 [0, k-1]
        int i = (int)(num * k);
        // 將 num 新增進桶 i
        buckets[i].Add(num);
    }
    // 2. 對各個桶執行排序
    foreach (List<float> bucket in buckets) {
        // 使用內建排序函式，也可以替換成其他排序演算法
        bucket.Sort();
    }
    // 3. 走訪桶合併結果
    int j = 0;
    foreach (List<float> bucket in buckets) {
        foreach (float num in bucket) {
            nums[j++] = num;
        }
    }
}

bucket_sort.go

/* 桶排序 */
func bucketSort(nums []float64) {
    // 初始化 k = n/2 個桶，預期向每個桶分配 2 個元素
    k := len(nums) / 2
    buckets := make([][]float64, k)
    for i := 0; i < k; i++ {
        buckets[i] = make([]float64, 0)
    }
    // 1. 將陣列元素分配到各個桶中
    for _, num := range nums {
        // 輸入資料範圍為 [0, 1)，使用 num * k 對映到索引範圍 [0, k-1]
        i := int(num * float64(k))
        // 將 num 新增進桶 i
        buckets[i] = append(buckets[i], num)
    }
    // 2. 對各個桶執行排序
    for i := 0; i < k; i++ {
        // 使用內建切片排序函式，也可以替換成其他排序演算法
        sort.Float64s(buckets[i])
    }
    // 3. 走訪桶合併結果
    i := 0
    for _, bucket := range buckets {
        for _, num := range bucket {
            nums[i] = num
            i++
        }
    }
}

bucket_sort.swift

/* 桶排序 */
func bucketSort(nums: inout [Double]) {
    // 初始化 k = n/2 個桶，預期向每個桶分配 2 個元素
    let k = nums.count / 2
    var buckets = (0 ..< k).map { _ in [Double]() }
    // 1. 將陣列元素分配到各個桶中
    for num in nums {
        // 輸入資料範圍為 [0, 1)，使用 num * k 對映到索引範圍 [0, k-1]
        let i = Int(num * Double(k))
        // 將 num 新增進桶 i
        buckets[i].append(num)
    }
    // 2. 對各個桶執行排序
    for i in buckets.indices {
        // 使用內建排序函式，也可以替換成其他排序演算法
        buckets[i].sort()
    }
    // 3. 走訪桶合併結果
    var i = nums.startIndex
    for bucket in buckets {
        for num in bucket {
            nums[i] = num
            i += 1
        }
    }
}

bucket_sort.js

/* 桶排序 */
function bucketSort(nums) {
    // 初始化 k = n/2 個桶，預期向每個桶分配 2 個元素
    const k = nums.length / 2;
    const buckets = [];
    for (let i = 0; i < k; i++) {
        buckets.push([]);
    }
    // 1. 將陣列元素分配到各個桶中
    for (const num of nums) {
        // 輸入資料範圍為 [0, 1)，使用 num * k 對映到索引範圍 [0, k-1]
        const i = Math.floor(num * k);
        // 將 num 新增進桶 i
        buckets[i].push(num);
    }
    // 2. 對各個桶執行排序
    for (const bucket of buckets) {
        // 使用內建排序函式，也可以替換成其他排序演算法
        bucket.sort((a, b) => a - b);
    }
    // 3. 走訪桶合併結果
    let i = 0;
    for (const bucket of buckets) {
        for (const num of bucket) {
            nums[i++] = num;
        }
    }
}

bucket_sort.ts

/* 桶排序 */
function bucketSort(nums: number[]): void {
    // 初始化 k = n/2 個桶，預期向每個桶分配 2 個元素
    const k = nums.length / 2;
    const buckets: number[][] = [];
    for (let i = 0; i < k; i++) {
        buckets.push([]);
    }
    // 1. 將陣列元素分配到各個桶中
    for (const num of nums) {
        // 輸入資料範圍為 [0, 1)，使用 num * k 對映到索引範圍 [0, k-1]
        const i = Math.floor(num * k);
        // 將 num 新增進桶 i
        buckets[i].push(num);
    }
    // 2. 對各個桶執行排序
    for (const bucket of buckets) {
        // 使用內建排序函式，也可以替換成其他排序演算法
        bucket.sort((a, b) => a - b);
    }
    // 3. 走訪桶合併結果
    let i = 0;
    for (const bucket of buckets) {
        for (const num of bucket) {
            nums[i++] = num;
        }
    }
}

bucket_sort.dart

/* 桶排序 */
void bucketSort(List<double> nums) {
  // 初始化 k = n/2 個桶，預期向每個桶分配 2 個元素
  int k = nums.length ~/ 2;
  List<List<double>> buckets = List.generate(k, (index) => []);

  // 1. 將陣列元素分配到各個桶中
  for (double _num in nums) {
    // 輸入資料範圍為 [0, 1)，使用 _num * k 對映到索引範圍 [0, k-1]
    int i = (_num * k).toInt();
    // 將 _num 新增進桶 bucket_idx
    buckets[i].add(_num);
  }
  // 2. 對各個桶執行排序
  for (List<double> bucket in buckets) {
    bucket.sort();
  }
  // 3. 走訪桶合併結果
  int i = 0;
  for (List<double> bucket in buckets) {
    for (double _num in bucket) {
      nums[i++] = _num;
    }
  }
}

bucket_sort.rs

/* 桶排序 */
fn bucket_sort(nums: &mut [f64]) {
    // 初始化 k = n/2 個桶，預期向每個桶分配 2 個元素
    let k = nums.len() / 2;
    let mut buckets = vec![vec![]; k];
    // 1. 將陣列元素分配到各個桶中
    for &num in nums.iter() {
        // 輸入資料範圍為 [0, 1)，使用 num * k 對映到索引範圍 [0, k-1]
        let i = (num * k as f64) as usize;
        // 將 num 新增進桶 i
        buckets[i].push(num);
    }
    // 2. 對各個桶執行排序
    for bucket in &mut buckets {
        // 使用內建排序函式，也可以替換成其他排序演算法
        bucket.sort_by(|a, b| a.partial_cmp(b).unwrap());
    }
    // 3. 走訪桶合併結果
    let mut i = 0;
    for bucket in buckets.iter() {
        for &num in bucket.iter() {
            nums[i] = num;
            i += 1;
        }
    }
}

bucket_sort.c

/* 桶排序 */
void bucketSort(float nums[], int n) {
    int k = n / 2;                                 // 初始化 k = n/2 個桶
    int *sizes = malloc(k * sizeof(int));          // 記錄每個桶的大小
    float **buckets = malloc(k * sizeof(float *)); // 動態陣列的陣列（桶）
    // 為每個桶預分配足夠的空間
    for (int i = 0; i < k; ++i) {
        buckets[i] = (float *)malloc(n * sizeof(float));
        sizes[i] = 0;
    }
    // 1. 將陣列元素分配到各個桶中
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int idx = (int)(nums[i] * k);
        buckets[idx][sizes[idx]++] = nums[i];
    }
    // 2. 對各個桶執行排序
    for (int i = 0; i < k; ++i) {
        qsort(buckets[i], sizes[i], sizeof(float), compare);
    }
    // 3. 合併排序後的桶
    int idx = 0;
    for (int i = 0; i < k; ++i) {
        for (int j = 0; j < sizes[i]; ++j) {
            nums[idx++] = buckets[i][j];
        }
        // 釋放記憶體
        free(buckets[i]);
    }
}

bucket_sort.kt

/* 桶排序 */
fun bucketSort(nums: FloatArray) {
    // 初始化 k = n/2 個桶，預期向每個桶分配 2 個元素
    val k = nums.size / 2
    val buckets = mutableListOf<MutableList<Float>>()
    for (i in 0..<k) {
        buckets.add(mutableListOf())
    }
    // 1. 將陣列元素分配到各個桶中
    for (num in nums) {
        // 輸入資料範圍為 [0, 1)，使用 num * k 對映到索引範圍 [0, k-1]
        val i = (num * k).toInt()
        // 將 num 新增進桶 i
        buckets[i].add(num)
    }
    // 2. 對各個桶執行排序
    for (bucket in buckets) {
        // 使用內建排序函式，也可以替換成其他排序演算法
        bucket.sort()
    }
    // 3. 走訪桶合併結果
    var i = 0
    for (bucket in buckets) {
        for (num in bucket) {
            nums[i++] = num
        }
    }
}

bucket_sort.rb

### 桶排序 ###
def bucket_sort(nums)
  # 初始化 k = n/2 個桶，預期向每個桶分配 2 個元素
  k = nums.length / 2
  buckets = Array.new(k) { [] }

  # 1. 將陣列元素分配到各個桶中
  nums.each do |num|
    # 輸入資料範圍為 [0, 1)，使用 num * k 對映到索引範圍 [0, k-1]
    i = (num * k).to_i
    # 將 num 新增進桶 i
    buckets[i] << num
  end

  # 2. 對各個桶執行排序
  buckets.each do |bucket|
    # 使用內建排序函式，也可以替換成其他排序演算法
    bucket.sort!
  end

  # 3. 走訪桶合併結果
  i = 0
  buckets.each do |bucket|
    bucket.each do |num|
      nums[i] = num
      i += 1
    end
  end
end

bucket_sort.zig

[class]{}-[func]{bucketSort}

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11.8.2   演算法特性

桶排序適用於處理體量很大的資料。例如，輸入資料包含 100 萬個元素，由於空間限制，系統記憶體無法一次性載入所有資料。此時，可以將資料分成 1000 個桶，然後分別對每個桶進行排序，最後將結果合併。

• 時間複雜度為 \(O(n + k)\) ：假設元素在各個桶內平均分佈，那麼每個桶內的元素數量為 \(\frac{n}{k}\) 。假設排序單個桶使用 \(O(\frac{n}{k} \log\frac{n}{k})\) 時間，則排序所有桶使用 \(O(n \log\frac{n}{k})\) 時間。當桶數量 \(k\) 比較大時，時間複雜度則趨向於 \(O(n)\) 。合併結果時需要走訪所有桶和元素，花費 \(O(n + k)\) 時間。在最差情況下，所有資料被分配到一個桶中，且排序該桶使用 \(O(n^2)\) 時間。
• 空間複雜度為 \(O(n + k)\)、非原地排序：需要藉助 \(k\) 個桶和總共 \(n\) 個元素的額外空間。
• 桶排序是否穩定取決於排序桶內元素的演算法是否穩定。

11.8.3   如何實現平均分配

桶排序的時間複雜度理論上可以達到 \(O(n)\) ，關鍵在於將元素均勻分配到各個桶中，因為實際資料往往不是均勻分佈的。例如，我們想要將淘寶上的所有商品按價格範圍平均分配到 10 個桶中，但商品價格分佈不均，低於 100 元的非常多，高於 1000 元的非常少。若將價格區間平均劃分為 10 個，各個桶中的商品數量差距會非常大。

為實現平均分配，我們可以先設定一條大致的分界線，將資料粗略地分到 3 個桶中。分配完畢後，再將商品較多的桶繼續劃分為 3 個桶，直至所有桶中的元素數量大致相等。

如圖 11-14 所示，這種方法本質上是建立一棵遞迴樹，目標是讓葉節點的值儘可能平均。當然，不一定要每輪將資料劃分為 3 個桶，具體劃分方式可根據資料特點靈活選擇。

圖 11-14   遞迴劃分桶

如果我們提前知道商品價格的機率分佈，則可以根據資料機率分佈設定每個桶的價格分界線。值得注意的是，資料分佈並不一定需要特意統計，也可以根據資料特點採用某種機率模型進行近似。

如圖 11-15 所示，我們假設商品價格服從正態分佈，這樣就可以合理地設定價格區間，從而將商品平均分配到各個桶中。

圖 11-15   根據機率分佈劃分桶