8.1 堆積¶
堆積（heap）是一種滿足特定條件的完全二元樹，主要可分為兩種型別，如圖 8-1 所示。
- 小頂堆積（min heap）：任意節點的值 \(\leq\) 其子節點的值。
- 大頂堆積（max heap）：任意節點的值 \(\geq\) 其子節點的值。
圖 8-1 小頂堆積與大頂堆積
堆積作為完全二元樹的一個特例，具有以下特性。
- 最底層節點靠左填充，其他層的節點都被填滿。
- 我們將二元樹的根節點稱為“堆積頂”，將底層最靠右的節點稱為“堆積底”。
- 對於大頂堆積（小頂堆積），堆積頂元素（根節點）的值是最大（最小）的。
8.1.1 堆積的常用操作¶
需要指出的是，許多程式語言提供的是優先佇列（priority queue），這是一種抽象的資料結構，定義為具有優先順序排序的佇列。
實際上，堆積通常用於實現優先佇列，大頂堆積相當於元素按從大到小的順序出列的優先佇列。從使用角度來看，我們可以將“優先佇列”和“堆積”看作等價的資料結構。因此，本書對兩者不做特別區分，統一稱作“堆積”。
堆積的常用操作見表 8-1 ，方法名需要根據程式語言來確定。
表 8-1 堆積的操作效率
| 方法名 | 描述 | 時間複雜度 |
|---|---|---|
push() |
元素入堆積 | \(O(\log n)\) |
pop() |
堆積頂元素出堆積 | \(O(\log n)\) |
peek() |
訪問堆積頂元素（對於大 / 小頂堆積分別為最大 / 小值） | \(O(1)\) |
size() |
獲取堆積的元素數量 | \(O(1)\) |
isEmpty() |
判斷堆積是否為空 | \(O(1)\) |
在實際應用中，我們可以直接使用程式語言提供的堆積類別（或優先佇列類別）。
類似於排序演算法中的“從小到大排列”和“從大到小排列”，我們可以透過設定一個 flag 或修改 Comparator 實現“小頂堆積”與“大頂堆積”之間的轉換。程式碼如下所示：
heap.py
# 初始化小頂堆積
min_heap, flag = [], 1
# 初始化大頂堆積
max_heap, flag = [], -1
# Python 的 heapq 模組預設實現小頂堆積
# 考慮將“元素取負”後再入堆積，這樣就可以將大小關係顛倒，從而實現大頂堆積
# 在本示例中，flag = 1 時對應小頂堆積，flag = -1 時對應大頂堆積
# 元素入堆積
heapq.heappush(max_heap, flag * 1)
heapq.heappush(max_heap, flag * 3)
heapq.heappush(max_heap, flag * 2)
heapq.heappush(max_heap, flag * 5)
heapq.heappush(max_heap, flag * 4)
# 獲取堆積頂元素
peek: int = flag * max_heap[0] # 5
# 堆積頂元素出堆積
# 出堆積元素會形成一個從大到小的序列
val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 5
val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 4
val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 3
val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 2
val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 1
# 獲取堆積大小
size: int = len(max_heap)
# 判斷堆積是否為空
is_empty: bool = not max_heap
# 輸入串列並建堆積
min_heap: list[int] = [1, 3, 2, 5, 4]
heapq.heapify(min_heap)
heap.cpp
/* 初始化堆積 */
// 初始化小頂堆積
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap;
// 初始化大頂堆積
priority_queue<int, vector<int>, less<int>> maxHeap;
/* 元素入堆積 */
maxHeap.push(1);
maxHeap.push(3);
maxHeap.push(2);
maxHeap.push(5);
maxHeap.push(4);
/* 獲取堆積頂元素 */
int peek = maxHeap.top(); // 5
/* 堆積頂元素出堆積 */
// 出堆積元素會形成一個從大到小的序列
maxHeap.pop(); // 5
maxHeap.pop(); // 4
maxHeap.pop(); // 3
maxHeap.pop(); // 2
maxHeap.pop(); // 1
/* 獲取堆積大小 */
int size = maxHeap.size();
/* 判斷堆積是否為空 */
bool isEmpty = maxHeap.empty();
/* 輸入串列並建堆積 */
vector<int> input{1, 3, 2, 5, 4};
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap(input.begin(), input.end());
heap.java
/* 初始化堆積 */
// 初始化小頂堆積
Queue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>();
// 初始化大頂堆積（使用 lambda 表示式修改 Comparator 即可）
Queue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>((a, b) -> b - a);
/* 元素入堆積 */
maxHeap.offer(1);
maxHeap.offer(3);
maxHeap.offer(2);
maxHeap.offer(5);
maxHeap.offer(4);
/* 獲取堆積頂元素 */
int peek = maxHeap.peek(); // 5
/* 堆積頂元素出堆積 */
// 出堆積元素會形成一個從大到小的序列
peek = maxHeap.poll(); // 5
peek = maxHeap.poll(); // 4
peek = maxHeap.poll(); // 3
peek = maxHeap.poll(); // 2
peek = maxHeap.poll(); // 1
/* 獲取堆積大小 */
int size = maxHeap.size();
/* 判斷堆積是否為空 */
boolean isEmpty = maxHeap.isEmpty();
/* 輸入串列並建堆積 */
minHeap = new PriorityQueue<>(Arrays.asList(1, 3, 2, 5, 4));
heap.cs
/* 初始化堆積 */
// 初始化小頂堆積
PriorityQueue<int, int> minHeap = new();
// 初始化大頂堆積（使用 lambda 表示式修改 Comparator 即可）
PriorityQueue<int, int> maxHeap = new(Comparer<int>.Create((x, y) => y - x));
/* 元素入堆積 */
maxHeap.Enqueue(1, 1);
maxHeap.Enqueue(3, 3);
maxHeap.Enqueue(2, 2);
maxHeap.Enqueue(5, 5);
maxHeap.Enqueue(4, 4);
/* 獲取堆積頂元素 */
int peek = maxHeap.Peek();//5
/* 堆積頂元素出堆積 */
// 出堆積元素會形成一個從大到小的序列
peek = maxHeap.Dequeue(); // 5
peek = maxHeap.Dequeue(); // 4
peek = maxHeap.Dequeue(); // 3
peek = maxHeap.Dequeue(); // 2
peek = maxHeap.Dequeue(); // 1
/* 獲取堆積大小 */
int size = maxHeap.Count;
/* 判斷堆積是否為空 */
bool isEmpty = maxHeap.Count == 0;
/* 輸入串列並建堆積 */
minHeap = new PriorityQueue<int, int>([(1, 1), (3, 3), (2, 2), (5, 5), (4, 4)]);
heap.go
// Go 語言中可以透過實現 heap.Interface 來構建整數大頂堆積
// 實現 heap.Interface 需要同時實現 sort.Interface
type intHeap []any
// Push heap.Interface 的方法，實現推入元素到堆積
func (h *intHeap) Push(x any) {
// Push 和 Pop 使用 pointer receiver 作為參數
// 因為它們不僅會對切片的內容進行調整，還會修改切片的長度。
*h = append(*h, x.(int))
}
// Pop heap.Interface 的方法，實現彈出堆積頂元素
func (h *intHeap) Pop() any {
// 待出堆積元素存放在最後
last := (*h)[len(*h)-1]
*h = (*h)[:len(*h)-1]
return last
}
// Len sort.Interface 的方法
func (h *intHeap) Len() int {
return len(*h)
}
// Less sort.Interface 的方法
func (h *intHeap) Less(i, j int) bool {
// 如果實現小頂堆積，則需要調整為小於號
return (*h)[i].(int) > (*h)[j].(int)
}
// Swap sort.Interface 的方法
func (h *intHeap) Swap(i, j int) {
(*h)[i], (*h)[j] = (*h)[j], (*h)[i]
}
// Top 獲取堆積頂元素
func (h *intHeap) Top() any {
return (*h)[0]
}
/* Driver Code */
func TestHeap(t *testing.T) {
/* 初始化堆積 */
// 初始化大頂堆積
maxHeap := &intHeap{}
heap.Init(maxHeap)
/* 元素入堆積 */
// 呼叫 heap.Interface 的方法，來新增元素
heap.Push(maxHeap, 1)
heap.Push(maxHeap, 3)
heap.Push(maxHeap, 2)
heap.Push(maxHeap, 4)
heap.Push(maxHeap, 5)
/* 獲取堆積頂元素 */
top := maxHeap.Top()
fmt.Printf("堆積頂元素為 %d\n", top)
/* 堆積頂元素出堆積 */
// 呼叫 heap.Interface 的方法，來移除元素
heap.Pop(maxHeap) // 5
heap.Pop(maxHeap) // 4
heap.Pop(maxHeap) // 3
heap.Pop(maxHeap) // 2
heap.Pop(maxHeap) // 1
/* 獲取堆積大小 */
size := len(*maxHeap)
fmt.Printf("堆積元素數量為 %d\n", size)
/* 判斷堆積是否為空 */
isEmpty := len(*maxHeap) == 0
fmt.Printf("堆積是否為空 %t\n", isEmpty)
}
heap.swift
/* 初始化堆積 */
// Swift 的 Heap 型別同時支持最大堆積和最小堆積，且需要引入 swift-collections
var heap = Heap<Int>()
/* 元素入堆積 */
heap.insert(1)
heap.insert(3)
heap.insert(2)
heap.insert(5)
heap.insert(4)
/* 獲取堆積頂元素 */
var peek = heap.max()!
/* 堆積頂元素出堆積 */
peek = heap.removeMax() // 5
peek = heap.removeMax() // 4
peek = heap.removeMax() // 3
peek = heap.removeMax() // 2
peek = heap.removeMax() // 1
/* 獲取堆積大小 */
let size = heap.count
/* 判斷堆積是否為空 */
let isEmpty = heap.isEmpty
/* 輸入串列並建堆積 */
let heap2 = Heap([1, 3, 2, 5, 4])
heap.rs
use std::collections::BinaryHeap;
use std::cmp::Reverse;
/* 初始化堆積 */
// 初始化小頂堆積
let mut min_heap = BinaryHeap::<Reverse<i32>>::new();
// 初始化大頂堆積
let mut max_heap = BinaryHeap::new();
/* 元素入堆積 */
max_heap.push(1);
max_heap.push(3);
max_heap.push(2);
max_heap.push(5);
max_heap.push(4);
/* 獲取堆積頂元素 */
let peek = max_heap.peek().unwrap(); // 5
/* 堆積頂元素出堆積 */
// 出堆積元素會形成一個從大到小的序列
let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 5
let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 4
let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 3
let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 2
let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 1
/* 獲取堆積大小 */
let size = max_heap.len();
/* 判斷堆積是否為空 */
let is_empty = max_heap.is_empty();
/* 輸入串列並建堆積 */
let min_heap = BinaryHeap::from(vec![Reverse(1), Reverse(3), Reverse(2), Reverse(5), Reverse(4)]);
heap.kt
/* 初始化堆積 */
// 初始化小頂堆積
var minHeap = PriorityQueue<Int>()
// 初始化大頂堆積（使用 lambda 表示式修改 Comparator 即可）
val maxHeap = PriorityQueue { a: Int, b: Int -> b - a }
/* 元素入堆積 */
maxHeap.offer(1)
maxHeap.offer(3)
maxHeap.offer(2)
maxHeap.offer(5)
maxHeap.offer(4)
/* 獲取堆積頂元素 */
var peek = maxHeap.peek() // 5
/* 堆積頂元素出堆積 */
// 出堆積元素會形成一個從大到小的序列
peek = maxHeap.poll() // 5
peek = maxHeap.poll() // 4
peek = maxHeap.poll() // 3
peek = maxHeap.poll() // 2
peek = maxHeap.poll() // 1
/* 獲取堆積大小 */
val size = maxHeap.size
/* 判斷堆積是否為空 */
val isEmpty = maxHeap.isEmpty()
/* 輸入串列並建堆積 */
minHeap = PriorityQueue(mutableListOf(1, 3, 2, 5, 4))
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8.1.2 堆積的實現¶
下文實現的是大頂堆積。若要將其轉換為小頂堆積，只需將所有大小邏輯判斷進行逆轉（例如，將 \(\geq\) 替換為 \(\leq\) ）。感興趣的讀者可以自行實現。
1. 堆積的儲存與表示¶
“二元樹”章節講過，完全二元樹非常適合用陣列來表示。由於堆積正是一種完全二元樹，因此我們將採用陣列來儲存堆積。
當使用陣列表示二元樹時，元素代表節點值，索引代表節點在二元樹中的位置。節點指標透過索引對映公式來實現。
如圖 8-2 所示，給定索引 \(i\) ，其左子節點的索引為 \(2i + 1\) ，右子節點的索引為 \(2i + 2\) ，父節點的索引為 \((i - 1) / 2\)（向下整除）。當索引越界時，表示空節點或節點不存在。
圖 8-2 堆積的表示與儲存
我們可以將索引對映公式封裝成函式，方便後續使用：
2. 訪問堆積頂元素¶
堆積頂元素即為二元樹的根節點，也就是串列的首個元素：
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3. 元素入堆積¶
給定元素 val ，我們首先將其新增到堆積底。新增之後，由於 val 可能大於堆積中其他元素，堆積的成立條件可能已被破壞，因此需要修復從插入節點到根節點的路徑上的各個節點，這個操作被稱為堆積化（heapify）。
考慮從入堆積節點開始，從底至頂執行堆積化。如圖 8-3 所示，我們比較插入節點與其父節點的值，如果插入節點更大，則將它們交換。然後繼續執行此操作，從底至頂修復堆積中的各個節點，直至越過根節點或遇到無須交換的節點時結束。
圖 8-3 元素入堆積步驟
設節點總數為 \(n\) ，則樹的高度為 \(O(\log n)\) 。由此可知，堆積化操作的迴圈輪數最多為 \(O(\log n)\) ，元素入堆積操作的時間複雜度為 \(O(\log n)\) 。程式碼如下所示：
my_heap.py
def push(self, val: int):
"""元素入堆積"""
# 新增節點
self.max_heap.append(val)
# 從底至頂堆積化
self.sift_up(self.size() - 1)
def sift_up(self, i: int):
"""從節點 i 開始，從底至頂堆積化"""
while True:
# 獲取節點 i 的父節點
p = self.parent(i)
# 當“越過根節點”或“節點無須修復”時，結束堆積化
if p < 0 or self.max_heap[i] <= self.max_heap[p]:
break
# 交換兩節點
self.swap(i, p)
# 迴圈向上堆積化
i = p
my_heap.cpp
/* 元素入堆積 */
void push(int val) {
// 新增節點
maxHeap.push_back(val);
// 從底至頂堆積化
siftUp(size() - 1);
}
/* 從節點 i 開始，從底至頂堆積化 */
void siftUp(int i) {
while (true) {
// 獲取節點 i 的父節點
int p = parent(i);
// 當“越過根節點”或“節點無須修復”時，結束堆積化
if (p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p])
break;
// 交換兩節點
swap(maxHeap[i], maxHeap[p]);
// 迴圈向上堆積化
i = p;
}
}
my_heap.java
/* 元素入堆積 */
void push(int val) {
// 新增節點
maxHeap.add(val);
// 從底至頂堆積化
siftUp(size() - 1);
}
/* 從節點 i 開始，從底至頂堆積化 */
void siftUp(int i) {
while (true) {
// 獲取節點 i 的父節點
int p = parent(i);
// 當“越過根節點”或“節點無須修復”時，結束堆積化
if (p < 0 || maxHeap.get(i) <= maxHeap.get(p))
break;
// 交換兩節點
swap(i, p);
// 迴圈向上堆積化
i = p;
}
}
my_heap.cs
/* 元素入堆積 */
void Push(int val) {
// 新增節點
maxHeap.Add(val);
// 從底至頂堆積化
SiftUp(Size() - 1);
}
/* 從節點 i 開始，從底至頂堆積化 */
void SiftUp(int i) {
while (true) {
// 獲取節點 i 的父節點
int p = Parent(i);
// 若“越過根節點”或“節點無須修復”，則結束堆積化
if (p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p])
break;
// 交換兩節點
Swap(i, p);
// 迴圈向上堆積化
i = p;
}
}
my_heap.go
/* 元素入堆積 */
func (h *maxHeap) push(val any) {
// 新增節點
h.data = append(h.data, val)
// 從底至頂堆積化
h.siftUp(len(h.data) - 1)
}
/* 從節點 i 開始，從底至頂堆積化 */
func (h *maxHeap) siftUp(i int) {
for true {
// 獲取節點 i 的父節點
p := h.parent(i)
// 當“越過根節點”或“節點無須修復”時，結束堆積化
if p < 0 || h.data[i].(int) <= h.data[p].(int) {
break
}
// 交換兩節點
h.swap(i, p)
// 迴圈向上堆積化
i = p
}
}
my_heap.swift
/* 元素入堆積 */
func push(val: Int) {
// 新增節點
maxHeap.append(val)
// 從底至頂堆積化
siftUp(i: size() - 1)
}
/* 從節點 i 開始，從底至頂堆積化 */
func siftUp(i: Int) {
var i = i
while true {
// 獲取節點 i 的父節點
let p = parent(i: i)
// 當“越過根節點”或“節點無須修復”時，結束堆積化
if p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p] {
break
}
// 交換兩節點
swap(i: i, j: p)
// 迴圈向上堆積化
i = p
}
}
my_heap.js
/* 元素入堆積 */
push(val) {
// 新增節點
this.#maxHeap.push(val);
// 從底至頂堆積化
this.#siftUp(this.size() - 1);
}
/* 從節點 i 開始，從底至頂堆積化 */
#siftUp(i) {
while (true) {
// 獲取節點 i 的父節點
const p = this.#parent(i);
// 當“越過根節點”或“節點無須修復”時，結束堆積化
if (p < 0 || this.#maxHeap[i] <= this.#maxHeap[p]) break;
// 交換兩節點
this.#swap(i, p);
// 迴圈向上堆積化
i = p;
}
}
my_heap.ts
/* 元素入堆積 */
push(val: number): void {
// 新增節點
this.maxHeap.push(val);
// 從底至頂堆積化
this.siftUp(this.size() - 1);
}
/* 從節點 i 開始，從底至頂堆積化 */
siftUp(i: number): void {
while (true) {
// 獲取節點 i 的父節點
const p = this.parent(i);
// 當“越過根節點”或“節點無須修復”時，結束堆積化
if (p < 0 || this.maxHeap[i] <= this.maxHeap[p]) break;
// 交換兩節點
this.swap(i, p);
// 迴圈向上堆積化
i = p;
}
}
my_heap.dart
/* 元素入堆積 */
void push(int val) {
// 新增節點
_maxHeap.add(val);
// 從底至頂堆積化
siftUp(size() - 1);
}
/* 從節點 i 開始，從底至頂堆積化 */
void siftUp(int i) {
while (true) {
// 獲取節點 i 的父節點
int p = _parent(i);
// 當“越過根節點”或“節點無須修復”時，結束堆積化
if (p < 0 || _maxHeap[i] <= _maxHeap[p]) {
break;
}
// 交換兩節點
_swap(i, p);
// 迴圈向上堆積化
i = p;
}
}
my_heap.rs
/* 元素入堆積 */
fn push(&mut self, val: i32) {
// 新增節點
self.max_heap.push(val);
// 從底至頂堆積化
self.sift_up(self.size() - 1);
}
/* 從節點 i 開始，從底至頂堆積化 */
fn sift_up(&mut self, mut i: usize) {
loop {
// 節點 i 已經是堆積頂節點了，結束堆積化
if i == 0 {
break;
}
// 獲取節點 i 的父節點
let p = Self::parent(i);
// 當“節點無須修復”時，結束堆積化
if self.max_heap[i] <= self.max_heap[p] {
break;
}
// 交換兩節點
self.swap(i, p);
// 迴圈向上堆積化
i = p;
}
}
my_heap.c
/* 元素入堆積 */
void push(MaxHeap *maxHeap, int val) {
// 預設情況下，不應該新增這麼多節點
if (maxHeap->size == MAX_SIZE) {
printf("heap is full!");
return;
}
// 新增節點
maxHeap->data[maxHeap->size] = val;
maxHeap->size++;
// 從底至頂堆積化
siftUp(maxHeap, maxHeap->size - 1);
}
/* 從節點 i 開始，從底至頂堆積化 */
void siftUp(MaxHeap *maxHeap, int i) {
while (true) {
// 獲取節點 i 的父節點
int p = parent(maxHeap, i);
// 當“越過根節點”或“節點無須修復”時，結束堆積化
if (p < 0 || maxHeap->data[i] <= maxHeap->data[p]) {
break;
}
// 交換兩節點
swap(maxHeap, i, p);
// 迴圈向上堆積化
i = p;
}
}
my_heap.kt
/* 元素入堆積 */
fun push(_val: Int) {
// 新增節點
maxHeap.add(_val)
// 從底至頂堆積化
siftUp(size() - 1)
}
/* 從節點 i 開始，從底至頂堆積化 */
fun siftUp(it: Int) {
// Kotlin的函式參數不可變，因此建立臨時變數
var i = it
while (true) {
// 獲取節點 i 的父節點
val p = parent(i)
// 當“越過根節點”或“節點無須修復”時，結束堆積化
if (p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p]) break
// 交換兩節點
swap(i, p)
// 迴圈向上堆積化
i = p
}
}
my_heap.zig
// 元素入堆積
fn push(self: *Self, val: T) !void {
// 新增節點
try self.max_heap.?.append(val);
// 從底至頂堆積化
try self.siftUp(self.size() - 1);
}
// 從節點 i 開始，從底至頂堆積化
fn siftUp(self: *Self, i_: usize) !void {
var i = i_;
while (true) {
// 獲取節點 i 的父節點
var p = parent(i);
// 當“越過根節點”或“節點無須修復”時，結束堆積化
if (p < 0 or self.max_heap.?.items[i] <= self.max_heap.?.items[p]) break;
// 交換兩節點
try self.swap(i, p);
// 迴圈向上堆積化
i = p;
}
}
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4. 堆積頂元素出堆積¶
堆積頂元素是二元樹的根節點，即串列首元素。如果我們直接從串列中刪除首元素，那麼二元樹中所有節點的索引都會發生變化，這將使得後續使用堆積化進行修復變得困難。為了儘量減少元素索引的變動，我們採用以下操作步驟。
- 交換堆積頂元素與堆積底元素（交換根節點與最右葉節點）。
- 交換完成後，將堆積底從串列中刪除（注意，由於已經交換，因此實際上刪除的是原來的堆積頂元素）。
- 從根節點開始，從頂至底執行堆積化。
如圖 8-4 所示，“從頂至底堆積化”的操作方向與“從底至頂堆積化”相反，我們將根節點的值與其兩個子節點的值進行比較，將最大的子節點與根節點交換。然後迴圈執行此操作，直到越過葉節點或遇到無須交換的節點時結束。
圖 8-4 堆積頂元素出堆積步驟
與元素入堆積操作相似，堆積頂元素出堆積操作的時間複雜度也為 \(O(\log n)\) 。程式碼如下所示：
my_heap.py
def pop(self) -> int:
"""元素出堆積"""
# 判空處理
if self.is_empty():
raise IndexError("堆積為空")
# 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
self.swap(0, self.size() - 1)
# 刪除節點
val = self.max_heap.pop()
# 從頂至底堆積化
self.sift_down(0)
# 返回堆積頂元素
return val
def sift_down(self, i: int):
"""從節點 i 開始，從頂至底堆積化"""
while True:
# 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 ma
l, r, ma = self.left(i), self.right(i), i
if l < self.size() and self.max_heap[l] > self.max_heap[ma]:
ma = l
if r < self.size() and self.max_heap[r] > self.max_heap[ma]:
ma = r
# 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
if ma == i:
break
# 交換兩節點
self.swap(i, ma)
# 迴圈向下堆積化
i = ma
my_heap.cpp
/* 元素出堆積 */
void pop() {
// 判空處理
if (isEmpty()) {
throw out_of_range("堆積為空");
}
// 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
swap(maxHeap[0], maxHeap[size() - 1]);
// 刪除節點
maxHeap.pop_back();
// 從頂至底堆積化
siftDown(0);
}
/* 從節點 i 開始，從頂至底堆積化 */
void siftDown(int i) {
while (true) {
// 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 ma
int l = left(i), r = right(i), ma = i;
if (l < size() && maxHeap[l] > maxHeap[ma])
ma = l;
if (r < size() && maxHeap[r] > maxHeap[ma])
ma = r;
// 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
if (ma == i)
break;
swap(maxHeap[i], maxHeap[ma]);
// 迴圈向下堆積化
i = ma;
}
}
my_heap.java
/* 元素出堆積 */
int pop() {
// 判空處理
if (isEmpty())
throw new IndexOutOfBoundsException();
// 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
swap(0, size() - 1);
// 刪除節點
int val = maxHeap.remove(size() - 1);
// 從頂至底堆積化
siftDown(0);
// 返回堆積頂元素
return val;
}
/* 從節點 i 開始，從頂至底堆積化 */
void siftDown(int i) {
while (true) {
// 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 ma
int l = left(i), r = right(i), ma = i;
if (l < size() && maxHeap.get(l) > maxHeap.get(ma))
ma = l;
if (r < size() && maxHeap.get(r) > maxHeap.get(ma))
ma = r;
// 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
if (ma == i)
break;
// 交換兩節點
swap(i, ma);
// 迴圈向下堆積化
i = ma;
}
}
my_heap.cs
/* 元素出堆積 */
int Pop() {
// 判空處理
if (IsEmpty())
throw new IndexOutOfRangeException();
// 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
Swap(0, Size() - 1);
// 刪除節點
int val = maxHeap.Last();
maxHeap.RemoveAt(Size() - 1);
// 從頂至底堆積化
SiftDown(0);
// 返回堆積頂元素
return val;
}
/* 從節點 i 開始，從頂至底堆積化 */
void SiftDown(int i) {
while (true) {
// 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 ma
int l = Left(i), r = Right(i), ma = i;
if (l < Size() && maxHeap[l] > maxHeap[ma])
ma = l;
if (r < Size() && maxHeap[r] > maxHeap[ma])
ma = r;
// 若“節點 i 最大”或“越過葉節點”，則結束堆積化
if (ma == i) break;
// 交換兩節點
Swap(i, ma);
// 迴圈向下堆積化
i = ma;
}
}
my_heap.go
/* 元素出堆積 */
func (h *maxHeap) pop() any {
// 判空處理
if h.isEmpty() {
fmt.Println("error")
return nil
}
// 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
h.swap(0, h.size()-1)
// 刪除節點
val := h.data[len(h.data)-1]
h.data = h.data[:len(h.data)-1]
// 從頂至底堆積化
h.siftDown(0)
// 返回堆積頂元素
return val
}
/* 從節點 i 開始，從頂至底堆積化 */
func (h *maxHeap) siftDown(i int) {
for true {
// 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 max
l, r, max := h.left(i), h.right(i), i
if l < h.size() && h.data[l].(int) > h.data[max].(int) {
max = l
}
if r < h.size() && h.data[r].(int) > h.data[max].(int) {
max = r
}
// 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
if max == i {
break
}
// 交換兩節點
h.swap(i, max)
// 迴圈向下堆積化
i = max
}
}
my_heap.swift
/* 元素出堆積 */
func pop() -> Int {
// 判空處理
if isEmpty() {
fatalError("堆積為空")
}
// 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
swap(i: 0, j: size() - 1)
// 刪除節點
let val = maxHeap.remove(at: size() - 1)
// 從頂至底堆積化
siftDown(i: 0)
// 返回堆積頂元素
return val
}
/* 從節點 i 開始，從頂至底堆積化 */
func siftDown(i: Int) {
var i = i
while true {
// 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 ma
let l = left(i: i)
let r = right(i: i)
var ma = i
if l < size(), maxHeap[l] > maxHeap[ma] {
ma = l
}
if r < size(), maxHeap[r] > maxHeap[ma] {
ma = r
}
// 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
if ma == i {
break
}
// 交換兩節點
swap(i: i, j: ma)
// 迴圈向下堆積化
i = ma
}
}
my_heap.js
/* 元素出堆積 */
pop() {
// 判空處理
if (this.isEmpty()) throw new Error('堆積為空');
// 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
this.#swap(0, this.size() - 1);
// 刪除節點
const val = this.#maxHeap.pop();
// 從頂至底堆積化
this.#siftDown(0);
// 返回堆積頂元素
return val;
}
/* 從節點 i 開始，從頂至底堆積化 */
#siftDown(i) {
while (true) {
// 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 ma
const l = this.#left(i),
r = this.#right(i);
let ma = i;
if (l < this.size() && this.#maxHeap[l] > this.#maxHeap[ma]) ma = l;
if (r < this.size() && this.#maxHeap[r] > this.#maxHeap[ma]) ma = r;
// 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
if (ma === i) break;
// 交換兩節點
this.#swap(i, ma);
// 迴圈向下堆積化
i = ma;
}
}
my_heap.ts
/* 元素出堆積 */
pop(): number {
// 判空處理
if (this.isEmpty()) throw new RangeError('Heap is empty.');
// 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
this.swap(0, this.size() - 1);
// 刪除節點
const val = this.maxHeap.pop();
// 從頂至底堆積化
this.siftDown(0);
// 返回堆積頂元素
return val;
}
/* 從節點 i 開始，從頂至底堆積化 */
siftDown(i: number): void {
while (true) {
// 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 ma
const l = this.left(i),
r = this.right(i);
let ma = i;
if (l < this.size() && this.maxHeap[l] > this.maxHeap[ma]) ma = l;
if (r < this.size() && this.maxHeap[r] > this.maxHeap[ma]) ma = r;
// 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
if (ma === i) break;
// 交換兩節點
this.swap(i, ma);
// 迴圈向下堆積化
i = ma;
}
}
my_heap.dart
/* 元素出堆積 */
int pop() {
// 判空處理
if (isEmpty()) throw Exception('堆積為空');
// 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
_swap(0, size() - 1);
// 刪除節點
int val = _maxHeap.removeLast();
// 從頂至底堆積化
siftDown(0);
// 返回堆積頂元素
return val;
}
/* 從節點 i 開始，從頂至底堆積化 */
void siftDown(int i) {
while (true) {
// 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 ma
int l = _left(i);
int r = _right(i);
int ma = i;
if (l < size() && _maxHeap[l] > _maxHeap[ma]) ma = l;
if (r < size() && _maxHeap[r] > _maxHeap[ma]) ma = r;
// 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
if (ma == i) break;
// 交換兩節點
_swap(i, ma);
// 迴圈向下堆積化
i = ma;
}
}
my_heap.rs
/* 元素出堆積 */
fn pop(&mut self) -> i32 {
// 判空處理
if self.is_empty() {
panic!("index out of bounds");
}
// 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
self.swap(0, self.size() - 1);
// 刪除節點
let val = self.max_heap.pop().unwrap();
// 從頂至底堆積化
self.sift_down(0);
// 返回堆積頂元素
val
}
/* 從節點 i 開始，從頂至底堆積化 */
fn sift_down(&mut self, mut i: usize) {
loop {
// 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 ma
let (l, r, mut ma) = (Self::left(i), Self::right(i), i);
if l < self.size() && self.max_heap[l] > self.max_heap[ma] {
ma = l;
}
if r < self.size() && self.max_heap[r] > self.max_heap[ma] {
ma = r;
}
// 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
if ma == i {
break;
}
// 交換兩節點
self.swap(i, ma);
// 迴圈向下堆積化
i = ma;
}
}
my_heap.c
/* 元素出堆積 */
int pop(MaxHeap *maxHeap) {
// 判空處理
if (isEmpty(maxHeap)) {
printf("heap is empty!");
return INT_MAX;
}
// 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
swap(maxHeap, 0, size(maxHeap) - 1);
// 刪除節點
int val = maxHeap->data[maxHeap->size - 1];
maxHeap->size--;
// 從頂至底堆積化
siftDown(maxHeap, 0);
// 返回堆積頂元素
return val;
}
/* 從節點 i 開始，從頂至底堆積化 */
void siftDown(MaxHeap *maxHeap, int i) {
while (true) {
// 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 max
int l = left(maxHeap, i);
int r = right(maxHeap, i);
int max = i;
if (l < size(maxHeap) && maxHeap->data[l] > maxHeap->data[max]) {
max = l;
}
if (r < size(maxHeap) && maxHeap->data[r] > maxHeap->data[max]) {
max = r;
}
// 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
if (max == i) {
break;
}
// 交換兩節點
swap(maxHeap, i, max);
// 迴圈向下堆積化
i = max;
}
}
my_heap.kt
/* 元素出堆積 */
fun pop(): Int {
// 判空處理
if (isEmpty()) throw IndexOutOfBoundsException()
// 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
swap(0, size() - 1)
// 刪除節點
val _val = maxHeap.removeAt(size() - 1)
// 從頂至底堆積化
siftDown(0)
// 返回堆積頂元素
return _val
}
/* 從節點 i 開始，從頂至底堆積化 */
fun siftDown(it: Int) {
// Kotlin的函式參數不可變，因此建立臨時變數
var i = it
while (true) {
// 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 ma
val l = left(i)
val r = right(i)
var ma = i
if (l < size() && maxHeap[l] > maxHeap[ma]) ma = l
if (r < size() && maxHeap[r] > maxHeap[ma]) ma = r
// 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
if (ma == i) break
// 交換兩節點
swap(i, ma)
// 迴圈向下堆積化
i = ma
}
}
my_heap.rb
### 元素出堆積 ###
def pop
# 判空處理
raise IndexError, "堆積為空" if is_empty?
# 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
swap(0, size - 1)
# 刪除節點
val = @max_heap.pop
# 從頂至底堆積化
sift_down(0)
# 返回堆積頂元素
val
end
### 從節點 i 開始，從頂至底堆積化 ###
def sift_down(i)
loop do
# 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 ma
l, r, ma = left(i), right(i), i
ma = l if l < size && @max_heap[l] > @max_heap[ma]
ma = r if r < size && @max_heap[r] > @max_heap[ma]
# 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
break if ma == i
# 交換兩節點
swap(i, ma)
# 迴圈向下堆積化
i = ma
end
end
my_heap.zig
// 元素出堆積
fn pop(self: *Self) !T {
// 判斷處理
if (self.isEmpty()) unreachable;
// 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
try self.swap(0, self.size() - 1);
// 刪除節點
var val = self.max_heap.?.pop();
// 從頂至底堆積化
try self.siftDown(0);
// 返回堆積頂元素
return val;
}
// 從節點 i 開始，從頂至底堆積化
fn siftDown(self: *Self, i_: usize) !void {
var i = i_;
while (true) {
// 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 ma
var l = left(i);
var r = right(i);
var ma = i;
if (l < self.size() and self.max_heap.?.items[l] > self.max_heap.?.items[ma]) ma = l;
if (r < self.size() and self.max_heap.?.items[r] > self.max_heap.?.items[ma]) ma = r;
// 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
if (ma == i) break;
// 交換兩節點
try self.swap(i, ma);
// 迴圈向下堆積化
i = ma;
}
}
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8.1.3 堆積的常見應用¶
- 優先佇列：堆積通常作為實現優先佇列的首選資料結構，其入列和出列操作的時間複雜度均為 \(O(\log n)\) ，而建堆積操作為 \(O(n)\) ，這些操作都非常高效。
- 堆積排序：給定一組資料，我們可以用它們建立一個堆積，然後不斷地執行元素出堆積操作，從而得到有序資料。然而，我們通常會使用一種更優雅的方式實現堆積排序，詳見“堆積排序”章節。
- 獲取最大的 \(k\) 個元素：這是一個經典的演算法問題，同時也是一種典型應用，例如選擇熱度前 10 的新聞作為微博熱搜，選取銷量前 10 的商品等。