8.1   堆積

堆積（heap）是一種滿足特定條件的完全二元樹，主要可分為兩種型別，如圖 8-1 所示。

• 小頂堆積（min heap）：任意節點的值 \(\leq\) 其子節點的值。
• 大頂堆積（max heap）：任意節點的值 \(\geq\) 其子節點的值。

圖 8-1   小頂堆積與大頂堆積

堆積作為完全二元樹的一個特例，具有以下特性。

• 最底層節點靠左填充，其他層的節點都被填滿。
• 我們將二元樹的根節點稱為“堆積頂”，將底層最靠右的節點稱為“堆積底”。
• 對於大頂堆積（小頂堆積），堆積頂元素（根節點）的值是最大（最小）的。

8.1.1   堆積的常用操作

需要指出的是，許多程式語言提供的是優先佇列（priority queue），這是一種抽象的資料結構，定義為具有優先順序排序的佇列。

實際上，堆積通常用於實現優先佇列，大頂堆積相當於元素按從大到小的順序出列的優先佇列。從使用角度來看，我們可以將“優先佇列”和“堆積”看作等價的資料結構。因此，本書對兩者不做特別區分，統一稱作“堆積”。

堆積的常用操作見表 8-1 ，方法名需要根據程式語言來確定。

表 8-1   堆積的操作效率

方法名	描述	時間複雜度
push()	元素入堆積	\(O(\log n)\)
pop()	堆積頂元素出堆積	\(O(\log n)\)
peek()	訪問堆積頂元素（對於大 / 小頂堆積分別為最大 / 小值）	\(O(1)\)
size()	獲取堆積的元素數量	\(O(1)\)
isEmpty()	判斷堆積是否為空	\(O(1)\)

在實際應用中，我們可以直接使用程式語言提供的堆積類別（或優先佇列類別）。

類似於排序演算法中的“從小到大排列”和“從大到小排列”，我們可以透過設定一個 flag 或修改 Comparator 實現“小頂堆積”與“大頂堆積”之間的轉換。程式碼如下所示：

PythonC++JavaC#GoSwiftJSTSDartRustCKotlinRubyZig

heap.py

# 初始化小頂堆積
min_heap, flag = [], 1
# 初始化大頂堆積
max_heap, flag = [], -1

# Python 的 heapq 模組預設實現小頂堆積
# 考慮將“元素取負”後再入堆積，這樣就可以將大小關係顛倒，從而實現大頂堆積
# 在本示例中，flag = 1 時對應小頂堆積，flag = -1 時對應大頂堆積

# 元素入堆積
heapq.heappush(max_heap, flag * 1)
heapq.heappush(max_heap, flag * 3)
heapq.heappush(max_heap, flag * 2)
heapq.heappush(max_heap, flag * 5)
heapq.heappush(max_heap, flag * 4)

# 獲取堆積頂元素
peek: int = flag * max_heap[0] # 5

# 堆積頂元素出堆積
# 出堆積元素會形成一個從大到小的序列
val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 5
val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 4
val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 3
val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 2
val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 1

# 獲取堆積大小
size: int = len(max_heap)

# 判斷堆積是否為空
is_empty: bool = not max_heap

# 輸入串列並建堆積
min_heap: list[int] = [1, 3, 2, 5, 4]
heapq.heapify(min_heap)

heap.cpp

/* 初始化堆積 */
// 初始化小頂堆積
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap;
// 初始化大頂堆積
priority_queue<int, vector<int>, less<int>> maxHeap;

/* 元素入堆積 */
maxHeap.push(1);
maxHeap.push(3);
maxHeap.push(2);
maxHeap.push(5);
maxHeap.push(4);

/* 獲取堆積頂元素 */
int peek = maxHeap.top(); // 5

/* 堆積頂元素出堆積 */
// 出堆積元素會形成一個從大到小的序列
maxHeap.pop(); // 5
maxHeap.pop(); // 4
maxHeap.pop(); // 3
maxHeap.pop(); // 2
maxHeap.pop(); // 1

/* 獲取堆積大小 */
int size = maxHeap.size();

/* 判斷堆積是否為空 */
bool isEmpty = maxHeap.empty();

/* 輸入串列並建堆積 */
vector<int> input{1, 3, 2, 5, 4};
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap(input.begin(), input.end());

heap.java

/* 初始化堆積 */
// 初始化小頂堆積
Queue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>();
// 初始化大頂堆積（使用 lambda 表示式修改 Comparator 即可）
Queue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>((a, b) -> b - a);

/* 元素入堆積 */
maxHeap.offer(1);
maxHeap.offer(3);
maxHeap.offer(2);
maxHeap.offer(5);
maxHeap.offer(4);

/* 獲取堆積頂元素 */
int peek = maxHeap.peek(); // 5

/* 堆積頂元素出堆積 */
// 出堆積元素會形成一個從大到小的序列
peek = maxHeap.poll(); // 5
peek = maxHeap.poll(); // 4
peek = maxHeap.poll(); // 3
peek = maxHeap.poll(); // 2
peek = maxHeap.poll(); // 1

/* 獲取堆積大小 */
int size = maxHeap.size();

/* 判斷堆積是否為空 */
boolean isEmpty = maxHeap.isEmpty();

/* 輸入串列並建堆積 */
minHeap = new PriorityQueue<>(Arrays.asList(1, 3, 2, 5, 4));

heap.cs

/* 初始化堆積 */
// 初始化小頂堆積
PriorityQueue<int, int> minHeap = new();
// 初始化大頂堆積（使用 lambda 表示式修改 Comparer 即可）
PriorityQueue<int, int> maxHeap = new(Comparer<int>.Create((x, y) => y.CompareTo(x)));

/* 元素入堆積 */
maxHeap.Enqueue(1, 1);
maxHeap.Enqueue(3, 3);
maxHeap.Enqueue(2, 2);
maxHeap.Enqueue(5, 5);
maxHeap.Enqueue(4, 4);

/* 獲取堆積頂元素 */
int peek = maxHeap.Peek();//5

/* 堆積頂元素出堆積 */
// 出堆積元素會形成一個從大到小的序列
peek = maxHeap.Dequeue();  // 5
peek = maxHeap.Dequeue();  // 4
peek = maxHeap.Dequeue();  // 3
peek = maxHeap.Dequeue();  // 2
peek = maxHeap.Dequeue();  // 1

/* 獲取堆積大小 */
int size = maxHeap.Count;

/* 判斷堆積是否為空 */
bool isEmpty = maxHeap.Count == 0;

/* 輸入串列並建堆積 */
minHeap = new PriorityQueue<int, int>([(1, 1), (3, 3), (2, 2), (5, 5), (4, 4)]);

heap.go

// Go 語言中可以透過實現 heap.Interface 來構建整數大頂堆積
// 實現 heap.Interface 需要同時實現 sort.Interface
type intHeap []any

// Push heap.Interface 的方法，實現推入元素到堆積
func (h *intHeap) Push(x any) {
    // Push 和 Pop 使用 pointer receiver 作為參數
    // 因為它們不僅會對切片的內容進行調整，還會修改切片的長度。
    *h = append(*h, x.(int))
}

// Pop heap.Interface 的方法，實現彈出堆積頂元素
func (h *intHeap) Pop() any {
    // 待出堆積元素存放在最後
    last := (*h)[len(*h)-1]
    *h = (*h)[:len(*h)-1]
    return last
}

// Len sort.Interface 的方法
func (h *intHeap) Len() int {
    return len(*h)
}

// Less sort.Interface 的方法
func (h *intHeap) Less(i, j int) bool {
    // 如果實現小頂堆積，則需要調整為小於號
    return (*h)[i].(int) > (*h)[j].(int)
}

// Swap sort.Interface 的方法
func (h *intHeap) Swap(i, j int) {
    (*h)[i], (*h)[j] = (*h)[j], (*h)[i]
}

// Top 獲取堆積頂元素
func (h *intHeap) Top() any {
    return (*h)[0]
}

/* Driver Code */
func TestHeap(t *testing.T) {
    /* 初始化堆積 */
    // 初始化大頂堆積
    maxHeap := &intHeap{}
    heap.Init(maxHeap)
    /* 元素入堆積 */
    // 呼叫 heap.Interface 的方法，來新增元素
    heap.Push(maxHeap, 1)
    heap.Push(maxHeap, 3)
    heap.Push(maxHeap, 2)
    heap.Push(maxHeap, 4)
    heap.Push(maxHeap, 5)

    /* 獲取堆積頂元素 */
    top := maxHeap.Top()
    fmt.Printf("堆積頂元素為 %d\n", top)

    /* 堆積頂元素出堆積 */
    // 呼叫 heap.Interface 的方法，來移除元素
    heap.Pop(maxHeap) // 5
    heap.Pop(maxHeap) // 4
    heap.Pop(maxHeap) // 3
    heap.Pop(maxHeap) // 2
    heap.Pop(maxHeap) // 1

    /* 獲取堆積大小 */
    size := len(*maxHeap)
    fmt.Printf("堆積元素數量為 %d\n", size)

    /* 判斷堆積是否為空 */
    isEmpty := len(*maxHeap) == 0
    fmt.Printf("堆積是否為空 %t\n", isEmpty)
}

heap.swift

/* 初始化堆積 */
// Swift 的 Heap 型別同時支持最大堆積和最小堆積，且需要引入 swift-collections
var heap = Heap<Int>()

/* 元素入堆積 */
heap.insert(1)
heap.insert(3)
heap.insert(2)
heap.insert(5)
heap.insert(4)

/* 獲取堆積頂元素 */
var peek = heap.max()!

/* 堆積頂元素出堆積 */
peek = heap.removeMax() // 5
peek = heap.removeMax() // 4
peek = heap.removeMax() // 3
peek = heap.removeMax() // 2
peek = heap.removeMax() // 1

/* 獲取堆積大小 */
let size = heap.count

/* 判斷堆積是否為空 */
let isEmpty = heap.isEmpty

/* 輸入串列並建堆積 */
let heap2 = Heap([1, 3, 2, 5, 4])

heap.js

// JavaScript 未提供內建 Heap 類別

heap.ts

// TypeScript 未提供內建 Heap 類別

heap.dart

// Dart 未提供內建 Heap 類別

heap.rs

use std::collections::BinaryHeap;
use std::cmp::Reverse;

/* 初始化堆積 */
// 初始化小頂堆積
let mut min_heap = BinaryHeap::<Reverse<i32>>::new();
// 初始化大頂堆積
let mut max_heap = BinaryHeap::new();

/* 元素入堆積 */
max_heap.push(1);
max_heap.push(3);
max_heap.push(2);
max_heap.push(5);
max_heap.push(4);

/* 獲取堆積頂元素 */
let peek = max_heap.peek().unwrap();  // 5

/* 堆積頂元素出堆積 */
// 出堆積元素會形成一個從大到小的序列
let peek = max_heap.pop().unwrap();   // 5
let peek = max_heap.pop().unwrap();   // 4
let peek = max_heap.pop().unwrap();   // 3
let peek = max_heap.pop().unwrap();   // 2
let peek = max_heap.pop().unwrap();   // 1

/* 獲取堆積大小 */
let size = max_heap.len();

/* 判斷堆積是否為空 */
let is_empty = max_heap.is_empty();

/* 輸入串列並建堆積 */
let min_heap = BinaryHeap::from(vec![Reverse(1), Reverse(3), Reverse(2), Reverse(5), Reverse(4)]);

heap.c

// C 未提供內建 Heap 類別

heap.kt

/* 初始化堆積 */
// 初始化小頂堆積
var minHeap = PriorityQueue<Int>()
// 初始化大頂堆積（使用 lambda 表示式修改 Comparator 即可）
val maxHeap = PriorityQueue { a: Int, b: Int -> b - a }

/* 元素入堆積 */
maxHeap.offer(1)
maxHeap.offer(3)
maxHeap.offer(2)
maxHeap.offer(5)
maxHeap.offer(4)

/* 獲取堆積頂元素 */
var peek = maxHeap.peek() // 5

/* 堆積頂元素出堆積 */
// 出堆積元素會形成一個從大到小的序列
peek = maxHeap.poll() // 5
peek = maxHeap.poll() // 4
peek = maxHeap.poll() // 3
peek = maxHeap.poll() // 2
peek = maxHeap.poll() // 1

/* 獲取堆積大小 */
val size = maxHeap.size

/* 判斷堆積是否為空 */
val isEmpty = maxHeap.isEmpty()

/* 輸入串列並建堆積 */
minHeap = PriorityQueue(mutableListOf(1, 3, 2, 5, 4))

heap.rb

# Ruby 未提供內建 Heap 類別

heap.zig

視覺化執行

全螢幕觀看 >

8.1.2   堆積的實現

下文實現的是大頂堆積。若要將其轉換為小頂堆積，只需將所有大小邏輯判斷進行逆轉（例如，將 \(\geq\) 替換為 \(\leq\) ）。感興趣的讀者可以自行實現。

1.   堆積的儲存與表示

“二元樹”章節講過，完全二元樹非常適合用陣列來表示。由於堆積正是一種完全二元樹，因此我們將採用陣列來儲存堆積。

當使用陣列表示二元樹時，元素代表節點值，索引代表節點在二元樹中的位置。節點指標透過索引對映公式來實現。

如圖 8-2 所示，給定索引 \(i\) ，其左子節點的索引為 \(2i + 1\) ，右子節點的索引為 \(2i + 2\) ，父節點的索引為 \((i - 1) / 2\)（向下整除）。當索引越界時，表示空節點或節點不存在。

圖 8-2   堆積的表示與儲存

我們可以將索引對映公式封裝成函式，方便後續使用：

PythonC++JavaC#GoSwiftJSTSDartRustCKotlinRubyZig

my_heap.py

def left(self, i: int) -> int:
    """獲取左子節點的索引"""
    return 2 * i + 1

def right(self, i: int) -> int:
    """獲取右子節點的索引"""
    return 2 * i + 2

def parent(self, i: int) -> int:
    """獲取父節點的索引"""
    return (i - 1) // 2  # 向下整除

my_heap.cpp

/* 獲取左子節點的索引 */
int left(int i) {
    return 2 * i + 1;
}

/* 獲取右子節點的索引 */
int right(int i) {
    return 2 * i + 2;
}

/* 獲取父節點的索引 */
int parent(int i) {
    return (i - 1) / 2; // 向下整除
}

my_heap.java

/* 獲取左子節點的索引 */
int left(int i) {
    return 2 * i + 1;
}

/* 獲取右子節點的索引 */
int right(int i) {
    return 2 * i + 2;
}

/* 獲取父節點的索引 */
int parent(int i) {
    return (i - 1) / 2; // 向下整除
}

my_heap.cs

/* 獲取左子節點的索引 */
int Left(int i) {
    return 2 * i + 1;
}

/* 獲取右子節點的索引 */
int Right(int i) {
    return 2 * i + 2;
}

/* 獲取父節點的索引 */
int Parent(int i) {
    return (i - 1) / 2; // 向下整除
}

my_heap.go

/* 獲取左子節點的索引 */
func (h *maxHeap) left(i int) int {
    return 2*i + 1
}

/* 獲取右子節點的索引 */
func (h *maxHeap) right(i int) int {
    return 2*i + 2
}

/* 獲取父節點的索引 */
func (h *maxHeap) parent(i int) int {
    // 向下整除
    return (i - 1) / 2
}

my_heap.swift

/* 獲取左子節點的索引 */
func left(i: Int) -> Int {
    2 * i + 1
}

/* 獲取右子節點的索引 */
func right(i: Int) -> Int {
    2 * i + 2
}

/* 獲取父節點的索引 */
func parent(i: Int) -> Int {
    (i - 1) / 2 // 向下整除
}

my_heap.js

/* 獲取左子節點的索引 */
#left(i) {
    return 2 * i + 1;
}

/* 獲取右子節點的索引 */
#right(i) {
    return 2 * i + 2;
}

/* 獲取父節點的索引 */
#parent(i) {
    return Math.floor((i - 1) / 2); // 向下整除
}

my_heap.ts

/* 獲取左子節點的索引 */
left(i: number): number {
    return 2 * i + 1;
}

/* 獲取右子節點的索引 */
right(i: number): number {
    return 2 * i + 2;
}

/* 獲取父節點的索引 */
parent(i: number): number {
    return Math.floor((i - 1) / 2); // 向下整除
}

my_heap.dart

/* 獲取左子節點的索引 */
int _left(int i) {
  return 2 * i + 1;
}

/* 獲取右子節點的索引 */
int _right(int i) {
  return 2 * i + 2;
}

/* 獲取父節點的索引 */
int _parent(int i) {
  return (i - 1) ~/ 2; // 向下整除
}

my_heap.rs

/* 獲取左子節點的索引 */
fn left(i: usize) -> usize {
    2 * i + 1
}

/* 獲取右子節點的索引 */
fn right(i: usize) -> usize {
    2 * i + 2
}

/* 獲取父節點的索引 */
fn parent(i: usize) -> usize {
    (i - 1) / 2 // 向下整除
}

my_heap.c

/* 獲取左子節點的索引 */
int left(MaxHeap *maxHeap, int i) {
    return 2 * i + 1;
}

/* 獲取右子節點的索引 */
int right(MaxHeap *maxHeap, int i) {
    return 2 * i + 2;
}

/* 獲取父節點的索引 */
int parent(MaxHeap *maxHeap, int i) {
    return (i - 1) / 2; // 向下取整
}

my_heap.kt

/* 獲取左子節點的索引 */
fun left(i: Int): Int {
    return 2 * i + 1
}

/* 獲取右子節點的索引 */
fun right(i: Int): Int {
    return 2 * i + 2
}

/* 獲取父節點的索引 */
fun parent(i: Int): Int {
    return (i - 1) / 2 // 向下整除
}

my_heap.rb

### 獲取左子節點的索引 ###
def left(i)
  2 * i + 1
end

### 獲取右子節點的索引 ###
def right(i)
  2 * i + 2
end

### 獲取父節點的索引 ###
def parent(i)
  (i - 1) / 2     # 向下整除
end

my_heap.zig

// 獲取左子節點的索引
fn left(i: usize) usize {
    return 2 * i + 1;
}

// 獲取右子節點的索引
fn right(i: usize) usize {
    return 2 * i + 2;
}

// 獲取父節點的索引
fn parent(i: usize) usize {
    // return (i - 1) / 2; // 向下整除
    return @divFloor(i - 1, 2);
}

2.   訪問堆積頂元素

堆積頂元素即為二元樹的根節點，也就是串列的首個元素：

PythonC++JavaC#GoSwiftJSTSDartRustCKotlinRubyZig

my_heap.py

def peek(self) -> int:
    """訪問堆積頂元素"""
    return self.max_heap[0]

my_heap.cpp

/* 訪問堆積頂元素 */
int peek() {
    return maxHeap[0];
}

my_heap.java

/* 訪問堆積頂元素 */
int peek() {
    return maxHeap.get(0);
}

my_heap.cs

/* 訪問堆積頂元素 */
int Peek() {
    return maxHeap[0];
}

my_heap.go

/* 訪問堆積頂元素 */
func (h *maxHeap) peek() any {
    return h.data[0]
}

my_heap.swift

/* 訪問堆積頂元素 */
func peek() -> Int {
    maxHeap[0]
}

my_heap.js

/* 訪問堆積頂元素 */
peek() {
    return this.#maxHeap[0];
}

my_heap.ts

/* 訪問堆積頂元素 */
peek(): number {
    return this.maxHeap[0];
}

my_heap.dart

/* 訪問堆積頂元素 */
int peek() {
  return _maxHeap[0];
}

my_heap.rs

/* 訪問堆積頂元素 */
fn peek(&self) -> Option<i32> {
    self.max_heap.first().copied()
}

my_heap.c

/* 訪問堆積頂元素 */
int peek(MaxHeap *maxHeap) {
    return maxHeap->data[0];
}

my_heap.kt

/* 訪問堆積頂元素 */
fun peek(): Int {
    return maxHeap[0]
}

my_heap.rb

### 訪問堆積頂元素 ###
def peek
  @max_heap[0]
end

my_heap.zig

// 訪問堆積頂元素
fn peek(self: *Self) T {
    return self.max_heap.?.items[0];
}  

視覺化執行

全螢幕觀看 >

3.   元素入堆積

給定元素 val ，我們首先將其新增到堆積底。新增之後，由於 val 可能大於堆積中其他元素，堆積的成立條件可能已被破壞，因此需要修復從插入節點到根節點的路徑上的各個節點，這個操作被稱為堆積化（heapify）。

考慮從入堆積節點開始，從底至頂執行堆積化。如圖 8-3 所示，我們比較插入節點與其父節點的值，如果插入節點更大，則將它們交換。然後繼續執行此操作，從底至頂修復堆積中的各個節點，直至越過根節點或遇到無須交換的節點時結束。

<1><2><3><4><5><6><7><8><9>

圖 8-3   元素入堆積步驟

設節點總數為 \(n\) ，則樹的高度為 \(O(\log n)\) 。由此可知，堆積化操作的迴圈輪數最多為 \(O(\log n)\) ，元素入堆積操作的時間複雜度為 \(O(\log n)\) 。程式碼如下所示：

PythonC++JavaC#GoSwiftJSTSDartRustCKotlinRubyZig

my_heap.py

def push(self, val: int):
    """元素入堆積"""
    # 新增節點
    self.max_heap.append(val)
    # 從底至頂堆積化
    self.sift_up(self.size() - 1)

def sift_up(self, i: int):
    """從節點 i 開始，從底至頂堆積化"""
    while True:
        # 獲取節點 i 的父節點
        p = self.parent(i)
        # 當“越過根節點”或“節點無須修復”時，結束堆積化
        if p < 0 or self.max_heap[i] <= self.max_heap[p]:
            break
        # 交換兩節點
        self.swap(i, p)
        # 迴圈向上堆積化
        i = p

my_heap.cpp

/* 元素入堆積 */
void push(int val) {
    // 新增節點
    maxHeap.push_back(val);
    // 從底至頂堆積化
    siftUp(size() - 1);
}

/* 從節點 i 開始，從底至頂堆積化 */
void siftUp(int i) {
    while (true) {
        // 獲取節點 i 的父節點
        int p = parent(i);
        // 當“越過根節點”或“節點無須修復”時，結束堆積化
        if (p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p])
            break;
        // 交換兩節點
        swap(maxHeap[i], maxHeap[p]);
        // 迴圈向上堆積化
        i = p;
    }
}

my_heap.java

/* 元素入堆積 */
void push(int val) {
    // 新增節點
    maxHeap.add(val);
    // 從底至頂堆積化
    siftUp(size() - 1);
}

/* 從節點 i 開始，從底至頂堆積化 */
void siftUp(int i) {
    while (true) {
        // 獲取節點 i 的父節點
        int p = parent(i);
        // 當“越過根節點”或“節點無須修復”時，結束堆積化
        if (p < 0 || maxHeap.get(i) <= maxHeap.get(p))
            break;
        // 交換兩節點
        swap(i, p);
        // 迴圈向上堆積化
        i = p;
    }
}

my_heap.cs

/* 元素入堆積 */
void Push(int val) {
    // 新增節點
    maxHeap.Add(val);
    // 從底至頂堆積化
    SiftUp(Size() - 1);
}

/* 從節點 i 開始，從底至頂堆積化 */
void SiftUp(int i) {
    while (true) {
        // 獲取節點 i 的父節點
        int p = Parent(i);
        // 若“越過根節點”或“節點無須修復”，則結束堆積化
        if (p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p])
            break;
        // 交換兩節點
        Swap(i, p);
        // 迴圈向上堆積化
        i = p;
    }
}

my_heap.go

/* 元素入堆積 */
func (h *maxHeap) push(val any) {
    // 新增節點
    h.data = append(h.data, val)
    // 從底至頂堆積化
    h.siftUp(len(h.data) - 1)
}

/* 從節點 i 開始，從底至頂堆積化 */
func (h *maxHeap) siftUp(i int) {
    for true {
        // 獲取節點 i 的父節點
        p := h.parent(i)
        // 當“越過根節點”或“節點無須修復”時，結束堆積化
        if p < 0 || h.data[i].(int) <= h.data[p].(int) {
            break
        }
        // 交換兩節點
        h.swap(i, p)
        // 迴圈向上堆積化
        i = p
    }
}

my_heap.swift

/* 元素入堆積 */
func push(val: Int) {
    // 新增節點
    maxHeap.append(val)
    // 從底至頂堆積化
    siftUp(i: size() - 1)
}

/* 從節點 i 開始，從底至頂堆積化 */
func siftUp(i: Int) {
    var i = i
    while true {
        // 獲取節點 i 的父節點
        let p = parent(i: i)
        // 當“越過根節點”或“節點無須修復”時，結束堆積化
        if p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p] {
            break
        }
        // 交換兩節點
        swap(i: i, j: p)
        // 迴圈向上堆積化
        i = p
    }
}

my_heap.js

/* 元素入堆積 */
push(val) {
    // 新增節點
    this.#maxHeap.push(val);
    // 從底至頂堆積化
    this.#siftUp(this.size() - 1);
}

/* 從節點 i 開始，從底至頂堆積化 */
#siftUp(i) {
    while (true) {
        // 獲取節點 i 的父節點
        const p = this.#parent(i);
        // 當“越過根節點”或“節點無須修復”時，結束堆積化
        if (p < 0 || this.#maxHeap[i] <= this.#maxHeap[p]) break;
        // 交換兩節點
        this.#swap(i, p);
        // 迴圈向上堆積化
        i = p;
    }
}

my_heap.ts

/* 元素入堆積 */
push(val: number): void {
    // 新增節點
    this.maxHeap.push(val);
    // 從底至頂堆積化
    this.siftUp(this.size() - 1);
}

/* 從節點 i 開始，從底至頂堆積化 */
siftUp(i: number): void {
    while (true) {
        // 獲取節點 i 的父節點
        const p = this.parent(i);
        // 當“越過根節點”或“節點無須修復”時，結束堆積化
        if (p < 0 || this.maxHeap[i] <= this.maxHeap[p]) break;
        // 交換兩節點
        this.swap(i, p);
        // 迴圈向上堆積化
        i = p;
    }
}

my_heap.dart

/* 元素入堆積 */
void push(int val) {
  // 新增節點
  _maxHeap.add(val);
  // 從底至頂堆積化
  siftUp(size() - 1);
}

/* 從節點 i 開始，從底至頂堆積化 */
void siftUp(int i) {
  while (true) {
    // 獲取節點 i 的父節點
    int p = _parent(i);
    // 當“越過根節點”或“節點無須修復”時，結束堆積化
    if (p < 0 || _maxHeap[i] <= _maxHeap[p]) {
      break;
    }
    // 交換兩節點
    _swap(i, p);
    // 迴圈向上堆積化
    i = p;
  }
}

my_heap.rs

/* 元素入堆積 */
fn push(&mut self, val: i32) {
    // 新增節點
    self.max_heap.push(val);
    // 從底至頂堆積化
    self.sift_up(self.size() - 1);
}

/* 從節點 i 開始，從底至頂堆積化 */
fn sift_up(&mut self, mut i: usize) {
    loop {
        // 節點 i 已經是堆積頂節點了，結束堆積化
        if i == 0 {
            break;
        }
        // 獲取節點 i 的父節點
        let p = Self::parent(i);
        // 當“節點無須修復”時，結束堆積化
        if self.max_heap[i] <= self.max_heap[p] {
            break;
        }
        // 交換兩節點
        self.swap(i, p);
        // 迴圈向上堆積化
        i = p;
    }
}

my_heap.c

/* 元素入堆積 */
void push(MaxHeap *maxHeap, int val) {
    // 預設情況下，不應該新增這麼多節點
    if (maxHeap->size == MAX_SIZE) {
        printf("heap is full!");
        return;
    }
    // 新增節點
    maxHeap->data[maxHeap->size] = val;
    maxHeap->size++;

    // 從底至頂堆積化
    siftUp(maxHeap, maxHeap->size - 1);
}

/* 從節點 i 開始，從底至頂堆積化 */
void siftUp(MaxHeap *maxHeap, int i) {
    while (true) {
        // 獲取節點 i 的父節點
        int p = parent(maxHeap, i);
        // 當“越過根節點”或“節點無須修復”時，結束堆積化
        if (p < 0 || maxHeap->data[i] <= maxHeap->data[p]) {
            break;
        }
        // 交換兩節點
        swap(maxHeap, i, p);
        // 迴圈向上堆積化
        i = p;
    }
}

my_heap.kt

/* 元素入堆積 */
fun push(_val: Int) {
    // 新增節點
    maxHeap.add(_val)
    // 從底至頂堆積化
    siftUp(size() - 1)
}

/* 從節點 i 開始，從底至頂堆積化 */
fun siftUp(it: Int) {
    // Kotlin的函式參數不可變，因此建立臨時變數
    var i = it
    while (true) {
        // 獲取節點 i 的父節點
        val p = parent(i)
        // 當“越過根節點”或“節點無須修復”時，結束堆積化
        if (p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p]) break
        // 交換兩節點
        swap(i, p)
        // 迴圈向上堆積化
        i = p
    }
}

my_heap.rb

### 元素入堆積 ###
def push(val)
  # 新增節點
  @max_heap << val
  # 從底至頂堆積化
  sift_up(size - 1)
end

### 從節點 i 開始，從底至頂堆積化 ###
def sift_up(i)
  loop do
    # 獲取節點 i 的父節點
    p = parent(i)
    # 當“越過根節點”或“節點無須修復”時，結束堆積化
    break if p < 0 || @max_heap[i] <= @max_heap[p]
    # 交換兩節點
    swap(i, p)
    # 迴圈向上堆積化
    i = p
  end
end

my_heap.zig

// 元素入堆積
fn push(self: *Self, val: T) !void {
    // 新增節點
    try self.max_heap.?.append(val);
    // 從底至頂堆積化
    try self.siftUp(self.size() - 1);
}  

// 從節點 i 開始，從底至頂堆積化
fn siftUp(self: *Self, i_: usize) !void {
    var i = i_;
    while (true) {
        // 獲取節點 i 的父節點
        var p = parent(i);
        // 當“越過根節點”或“節點無須修復”時，結束堆積化
        if (p < 0 or self.max_heap.?.items[i] <= self.max_heap.?.items[p]) break;
        // 交換兩節點
        try self.swap(i, p);
        // 迴圈向上堆積化
        i = p;
    }
}

視覺化執行

全螢幕觀看 >

4.   堆積頂元素出堆積

堆積頂元素是二元樹的根節點，即串列首元素。如果我們直接從串列中刪除首元素，那麼二元樹中所有節點的索引都會發生變化，這將使得後續使用堆積化進行修復變得困難。為了儘量減少元素索引的變動，我們採用以下操作步驟。

1. 交換堆積頂元素與堆積底元素（交換根節點與最右葉節點）。
2. 交換完成後，將堆積底從串列中刪除（注意，由於已經交換，因此實際上刪除的是原來的堆積頂元素）。
3. 從根節點開始，從頂至底執行堆積化。

如圖 8-4 所示，“從頂至底堆積化”的操作方向與“從底至頂堆積化”相反，我們將根節點的值與其兩個子節點的值進行比較，將最大的子節點與根節點交換。然後迴圈執行此操作，直到越過葉節點或遇到無須交換的節點時結束。

<1><2><3><4><5><6><7><8><9><10>

圖 8-4   堆積頂元素出堆積步驟

與元素入堆積操作相似，堆積頂元素出堆積操作的時間複雜度也為 \(O(\log n)\) 。程式碼如下所示：

PythonC++JavaC#GoSwiftJSTSDartRustCKotlinRubyZig

my_heap.py

def pop(self) -> int:
    """元素出堆積"""
    # 判空處理
    if self.is_empty():
        raise IndexError("堆積為空")
    # 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
    self.swap(0, self.size() - 1)
    # 刪除節點
    val = self.max_heap.pop()
    # 從頂至底堆積化
    self.sift_down(0)
    # 返回堆積頂元素
    return val

def sift_down(self, i: int):
    """從節點 i 開始，從頂至底堆積化"""
    while True:
        # 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 ma
        l, r, ma = self.left(i), self.right(i), i
        if l < self.size() and self.max_heap[l] > self.max_heap[ma]:
            ma = l
        if r < self.size() and self.max_heap[r] > self.max_heap[ma]:
            ma = r
        # 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
        if ma == i:
            break
        # 交換兩節點
        self.swap(i, ma)
        # 迴圈向下堆積化
        i = ma

my_heap.cpp

/* 元素出堆積 */
void pop() {
    // 判空處理
    if (isEmpty()) {
        throw out_of_range("堆積為空");
    }
    // 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
    swap(maxHeap[0], maxHeap[size() - 1]);
    // 刪除節點
    maxHeap.pop_back();
    // 從頂至底堆積化
    siftDown(0);
}

/* 從節點 i 開始，從頂至底堆積化 */
void siftDown(int i) {
    while (true) {
        // 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 ma
        int l = left(i), r = right(i), ma = i;
        if (l < size() && maxHeap[l] > maxHeap[ma])
            ma = l;
        if (r < size() && maxHeap[r] > maxHeap[ma])
            ma = r;
        // 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
        if (ma == i)
            break;
        swap(maxHeap[i], maxHeap[ma]);
        // 迴圈向下堆積化
        i = ma;
    }
}

my_heap.java

/* 元素出堆積 */
int pop() {
    // 判空處理
    if (isEmpty())
        throw new IndexOutOfBoundsException();
    // 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
    swap(0, size() - 1);
    // 刪除節點
    int val = maxHeap.remove(size() - 1);
    // 從頂至底堆積化
    siftDown(0);
    // 返回堆積頂元素
    return val;
}

/* 從節點 i 開始，從頂至底堆積化 */
void siftDown(int i) {
    while (true) {
        // 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 ma
        int l = left(i), r = right(i), ma = i;
        if (l < size() && maxHeap.get(l) > maxHeap.get(ma))
            ma = l;
        if (r < size() && maxHeap.get(r) > maxHeap.get(ma))
            ma = r;
        // 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
        if (ma == i)
            break;
        // 交換兩節點
        swap(i, ma);
        // 迴圈向下堆積化
        i = ma;
    }
}

my_heap.cs

/* 元素出堆積 */
int Pop() {
    // 判空處理
    if (IsEmpty())
        throw new IndexOutOfRangeException();
    // 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
    Swap(0, Size() - 1);
    // 刪除節點
    int val = maxHeap.Last();
    maxHeap.RemoveAt(Size() - 1);
    // 從頂至底堆積化
    SiftDown(0);
    // 返回堆積頂元素
    return val;
}

/* 從節點 i 開始，從頂至底堆積化 */
void SiftDown(int i) {
    while (true) {
        // 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 ma
        int l = Left(i), r = Right(i), ma = i;
        if (l < Size() && maxHeap[l] > maxHeap[ma])
            ma = l;
        if (r < Size() && maxHeap[r] > maxHeap[ma])
            ma = r;
        // 若“節點 i 最大”或“越過葉節點”，則結束堆積化
        if (ma == i) break;
        // 交換兩節點
        Swap(i, ma);
        // 迴圈向下堆積化
        i = ma;
    }
}

my_heap.go

/* 元素出堆積 */
func (h *maxHeap) pop() any {
    // 判空處理
    if h.isEmpty() {
        fmt.Println("error")
        return nil
    }
    // 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
    h.swap(0, h.size()-1)
    // 刪除節點
    val := h.data[len(h.data)-1]
    h.data = h.data[:len(h.data)-1]
    // 從頂至底堆積化
    h.siftDown(0)

    // 返回堆積頂元素
    return val
}

/* 從節點 i 開始，從頂至底堆積化 */
func (h *maxHeap) siftDown(i int) {
    for true {
        // 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 max
        l, r, max := h.left(i), h.right(i), i
        if l < h.size() && h.data[l].(int) > h.data[max].(int) {
            max = l
        }
        if r < h.size() && h.data[r].(int) > h.data[max].(int) {
            max = r
        }
        // 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
        if max == i {
            break
        }
        // 交換兩節點
        h.swap(i, max)
        // 迴圈向下堆積化
        i = max
    }
}

my_heap.swift

/* 元素出堆積 */
func pop() -> Int {
    // 判空處理
    if isEmpty() {
        fatalError("堆積為空")
    }
    // 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
    swap(i: 0, j: size() - 1)
    // 刪除節點
    let val = maxHeap.remove(at: size() - 1)
    // 從頂至底堆積化
    siftDown(i: 0)
    // 返回堆積頂元素
    return val
}

/* 從節點 i 開始，從頂至底堆積化 */
func siftDown(i: Int) {
    var i = i
    while true {
        // 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 ma
        let l = left(i: i)
        let r = right(i: i)
        var ma = i
        if l < size(), maxHeap[l] > maxHeap[ma] {
            ma = l
        }
        if r < size(), maxHeap[r] > maxHeap[ma] {
            ma = r
        }
        // 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
        if ma == i {
            break
        }
        // 交換兩節點
        swap(i: i, j: ma)
        // 迴圈向下堆積化
        i = ma
    }
}

my_heap.js

/* 元素出堆積 */
pop() {
    // 判空處理
    if (this.isEmpty()) throw new Error('堆積為空');
    // 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
    this.#swap(0, this.size() - 1);
    // 刪除節點
    const val = this.#maxHeap.pop();
    // 從頂至底堆積化
    this.#siftDown(0);
    // 返回堆積頂元素
    return val;
}

/* 從節點 i 開始，從頂至底堆積化 */
#siftDown(i) {
    while (true) {
        // 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 ma
        const l = this.#left(i),
            r = this.#right(i);
        let ma = i;
        if (l < this.size() && this.#maxHeap[l] > this.#maxHeap[ma]) ma = l;
        if (r < this.size() && this.#maxHeap[r] > this.#maxHeap[ma]) ma = r;
        // 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
        if (ma === i) break;
        // 交換兩節點
        this.#swap(i, ma);
        // 迴圈向下堆積化
        i = ma;
    }
}

my_heap.ts

/* 元素出堆積 */
pop(): number {
    // 判空處理
    if (this.isEmpty()) throw new RangeError('Heap is empty.');
    // 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
    this.swap(0, this.size() - 1);
    // 刪除節點
    const val = this.maxHeap.pop();
    // 從頂至底堆積化
    this.siftDown(0);
    // 返回堆積頂元素
    return val;
}

/* 從節點 i 開始，從頂至底堆積化 */
siftDown(i: number): void {
    while (true) {
        // 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 ma
        const l = this.left(i),
            r = this.right(i);
        let ma = i;
        if (l < this.size() && this.maxHeap[l] > this.maxHeap[ma]) ma = l;
        if (r < this.size() && this.maxHeap[r] > this.maxHeap[ma]) ma = r;
        // 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
        if (ma === i) break;
        // 交換兩節點
        this.swap(i, ma);
        // 迴圈向下堆積化
        i = ma;
    }
}

my_heap.dart

/* 元素出堆積 */
int pop() {
  // 判空處理
  if (isEmpty()) throw Exception('堆積為空');
  // 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
  _swap(0, size() - 1);
  // 刪除節點
  int val = _maxHeap.removeLast();
  // 從頂至底堆積化
  siftDown(0);
  // 返回堆積頂元素
  return val;
}

/* 從節點 i 開始，從頂至底堆積化 */
void siftDown(int i) {
  while (true) {
    // 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 ma
    int l = _left(i);
    int r = _right(i);
    int ma = i;
    if (l < size() && _maxHeap[l] > _maxHeap[ma]) ma = l;
    if (r < size() && _maxHeap[r] > _maxHeap[ma]) ma = r;
    // 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
    if (ma == i) break;
    // 交換兩節點
    _swap(i, ma);
    // 迴圈向下堆積化
    i = ma;
  }
}

my_heap.rs

/* 元素出堆積 */
fn pop(&mut self) -> i32 {
    // 判空處理
    if self.is_empty() {
        panic!("index out of bounds");
    }
    // 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
    self.swap(0, self.size() - 1);
    // 刪除節點
    let val = self.max_heap.pop().unwrap();
    // 從頂至底堆積化
    self.sift_down(0);
    // 返回堆積頂元素
    val
}

/* 從節點 i 開始，從頂至底堆積化 */
fn sift_down(&mut self, mut i: usize) {
    loop {
        // 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 ma
        let (l, r, mut ma) = (Self::left(i), Self::right(i), i);
        if l < self.size() && self.max_heap[l] > self.max_heap[ma] {
            ma = l;
        }
        if r < self.size() && self.max_heap[r] > self.max_heap[ma] {
            ma = r;
        }
        // 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
        if ma == i {
            break;
        }
        // 交換兩節點
        self.swap(i, ma);
        // 迴圈向下堆積化
        i = ma;
    }
}

my_heap.c

/* 元素出堆積 */
int pop(MaxHeap *maxHeap) {
    // 判空處理
    if (isEmpty(maxHeap)) {
        printf("heap is empty!");
        return INT_MAX;
    }
    // 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
    swap(maxHeap, 0, size(maxHeap) - 1);
    // 刪除節點
    int val = maxHeap->data[maxHeap->size - 1];
    maxHeap->size--;
    // 從頂至底堆積化
    siftDown(maxHeap, 0);

    // 返回堆積頂元素
    return val;
}

/* 從節點 i 開始，從頂至底堆積化 */
void siftDown(MaxHeap *maxHeap, int i) {
    while (true) {
        // 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 max
        int l = left(maxHeap, i);
        int r = right(maxHeap, i);
        int max = i;
        if (l < size(maxHeap) && maxHeap->data[l] > maxHeap->data[max]) {
            max = l;
        }
        if (r < size(maxHeap) && maxHeap->data[r] > maxHeap->data[max]) {
            max = r;
        }
        // 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
        if (max == i) {
            break;
        }
        // 交換兩節點
        swap(maxHeap, i, max);
        // 迴圈向下堆積化
        i = max;
    }
}

my_heap.kt

/* 元素出堆積 */
fun pop(): Int {
    // 判空處理
    if (isEmpty()) throw IndexOutOfBoundsException()
    // 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
    swap(0, size() - 1)
    // 刪除節點
    val _val = maxHeap.removeAt(size() - 1)
    // 從頂至底堆積化
    siftDown(0)
    // 返回堆積頂元素
    return _val
}

/* 從節點 i 開始，從頂至底堆積化 */
fun siftDown(it: Int) {
    // Kotlin的函式參數不可變，因此建立臨時變數
    var i = it
    while (true) {
        // 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 ma
        val l = left(i)
        val r = right(i)
        var ma = i
        if (l < size() && maxHeap[l] > maxHeap[ma]) ma = l
        if (r < size() && maxHeap[r] > maxHeap[ma]) ma = r
        // 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
        if (ma == i) break
        // 交換兩節點
        swap(i, ma)
        // 迴圈向下堆積化
        i = ma
    }
}

my_heap.rb

### 元素出堆積 ###
def pop
  # 判空處理
  raise IndexError, "堆積為空" if is_empty?
  # 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
  swap(0, size - 1)
  # 刪除節點
  val = @max_heap.pop
  # 從頂至底堆積化
  sift_down(0)
  # 返回堆積頂元素
  val
end

### 從節點 i 開始，從頂至底堆積化 ###
def sift_down(i)
  loop do
    # 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 ma
    l, r, ma = left(i), right(i), i
    ma = l if l < size && @max_heap[l] > @max_heap[ma]
    ma = r if r < size && @max_heap[r] > @max_heap[ma]

    # 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
    break if ma == i

    # 交換兩節點
    swap(i, ma)
    # 迴圈向下堆積化
    i = ma
  end
end

my_heap.zig

// 元素出堆積
fn pop(self: *Self) !T {
    // 判斷處理
    if (self.isEmpty()) unreachable;
    // 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
    try self.swap(0, self.size() - 1);
    // 刪除節點
    var val = self.max_heap.?.pop();
    // 從頂至底堆積化
    try self.siftDown(0);
    // 返回堆積頂元素
    return val;
} 

// 從節點 i 開始，從頂至底堆積化
fn siftDown(self: *Self, i_: usize) !void {
    var i = i_;
    while (true) {
        // 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 ma
        var l = left(i);
        var r = right(i);
        var ma = i;
        if (l < self.size() and self.max_heap.?.items[l] > self.max_heap.?.items[ma]) ma = l;
        if (r < self.size() and self.max_heap.?.items[r] > self.max_heap.?.items[ma]) ma = r;
        // 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
        if (ma == i) break;
        // 交換兩節點
        try self.swap(i, ma);
        // 迴圈向下堆積化
        i = ma;
    }
}

視覺化執行

全螢幕觀看 >

8.1.3   堆積的常見應用

• 優先佇列：堆積通常作為實現優先佇列的首選資料結構，其入列和出列操作的時間複雜度均為 \(O(\log n)\) ，而建堆積操作為 \(O(n)\) ，這些操作都非常高效。
• 堆積排序：給定一組資料，我們可以用它們建立一個堆積，然後不斷地執行元素出堆積操作，從而得到有序資料。然而，我們通常會使用一種更優雅的方式實現堆積排序，詳見“堆積排序”章節。
• 獲取最大的 \(k\) 個元素：這是一個經典的演算法問題，同時也是一種典型應用，例如選擇熱度前 10 的新聞作為微博熱搜，選取銷量前 10 的商品等。