15.5   小結

• 貪婪演算法通常用於解決最最佳化問題，其原理是在每個決策階段都做出區域性最優的決策，以期獲得全域性最優解。
• 貪婪演算法會迭代地做出一個又一個的貪婪選擇，每輪都將問題轉化成一個規模更小的子問題，直到問題被解決。
• 貪婪演算法不僅實現簡單，還具有很高的解題效率。相比於動態規劃，貪婪演算法的時間複雜度通常更低。
• 在零錢兌換問題中，對於某些硬幣組合，貪婪演算法可以保證找到最優解；對於另外一些硬幣組合則不然，貪婪演算法可能找到很差的解。
• 適合用貪婪演算法求解的問題具有兩大性質：貪婪選擇性質和最優子結構。貪婪選擇性質代表貪婪策略的有效性。
• 對於某些複雜問題，貪婪選擇性質的證明並不簡單。相對來說，證偽更加容易，例如零錢兌換問題。
• 求解貪婪問題主要分為三步：問題分析、確定貪婪策略、正確性證明。其中，確定貪婪策略是核心步驟，正確性證明往往是難點。
• 分數背包問題在 0-1 背包的基礎上，允許選擇物品的一部分，因此可使用貪婪演算法求解。貪婪策略的正確性可以使用反證法來證明。
• 最大容量問題可使用窮舉法求解，時間複雜度為 \(O(n^2)\) 。透過設計貪婪策略，每輪向內移動短板，可將時間複雜度最佳化至 \(O(n)\) 。
• 在最大切分乘積問題中，我們先後推理出兩個貪婪策略：\(\geq 4\) 的整數都應該繼續切分，最優切分因子為 \(3\) 。程式碼中包含冪運算，時間複雜度取決於冪運算實現方法，通常為 \(O(1)\) 或 \(O(\log n)\) 。