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9.1   圖

圖（graph）是一種非線性資料結構，由頂點（vertex）和邊（edge）組成。我們可以將圖 \(G\) 抽象地表示為一組頂點 \(V\) 和一組邊 \(E\) 的集合。以下示例展示了一個包含 5 個頂點和 7 條邊的圖。

\[ \begin{aligned} V & = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \newline E & = \{ (1,2), (1,3), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (4,5) \} \newline G & = \{ V, E \} \newline \end{aligned} \]

如果將頂點看作節點，將邊看作連線各個節點的引用（指標），我們就可以將圖看作一種從鏈結串列拓展而來的資料結構。如圖 9-1 所示，相較於線性關係（鏈結串列）和分治關係（樹），網路關係（圖）的自由度更高，因而更為複雜。

鏈結串列、樹、圖之間的關係

圖 9-1   鏈結串列、樹、圖之間的關係

9.1.1   圖的常見型別與術語

根據邊是否具有方向，可分為無向圖（undirected graph）和有向圖（directed graph），如圖 9-2 所示。

  • 在無向圖中，邊表示兩頂點之間的“雙向”連線關係，例如微信或 QQ 中的“好友關係”。
  • 在有向圖中，邊具有方向性，即 \(A \rightarrow B\) 和 \(A \leftarrow B\) 兩個方向的邊是相互獨立的，例如微博或抖音上的“關注”與“被關注”關係。

有向圖與無向圖

圖 9-2   有向圖與無向圖

根據所有頂點是否連通，可分為連通圖（connected graph）和非連通圖（disconnected graph），如圖 9-3 所示。

  • 對於連通圖，從某個頂點出發，可以到達其餘任意頂點。
  • 對於非連通圖，從某個頂點出發，至少有一個頂點無法到達。

連通圖與非連通圖

圖 9-3   連通圖與非連通圖

我們還可以為邊新增“權重”變數，從而得到如圖 9-4 所示的有權圖（weighted graph）。例如在《王者榮耀》等手遊中，系統會根據共同遊戲時間來計算玩家之間的“親密度”，這種親密度網路就可以用有權圖來表示。

有權圖與無權圖

圖 9-4   有權圖與無權圖

圖資料結構包含以下常用術語。

  • 鄰接（adjacency）：當兩頂點之間存在邊相連時，稱這兩頂點“鄰接”。在圖 9-4 中，頂點 1 的鄰接頂點為頂點 2、3、5。
  • 路徑（path）：從頂點 A 到頂點 B 經過的邊構成的序列被稱為從 A 到 B 的“路徑”。在圖 9-4 中，邊序列 1-5-2-4 是頂點 1 到頂點 4 的一條路徑。
  • 度（degree）：一個頂點擁有的邊數。對於有向圖，入度（in-degree）表示有多少條邊指向該頂點，出度（out-degree）表示有多少條邊從該頂點指出。

9.1.2   圖的表示

圖的常用表示方式包括“鄰接矩陣”和“鄰接表”。以下使用無向圖進行舉例。

1.   鄰接矩陣

設圖的頂點數量為 \(n\) ，鄰接矩陣（adjacency matrix）使用一個 \(n \times n\) 大小的矩陣來表示圖，每一行（列）代表一個頂點，矩陣元素代表邊，用 \(1\) 或 \(0\) 表示兩個頂點之間是否存在邊。

如圖 9-5 所示，設鄰接矩陣為 \(M\)、頂點串列為 \(V\) ，那麼矩陣元素 \(M[i, j] = 1\) 表示頂點 \(V[i]\) 到頂點 \(V[j]\) 之間存在邊，反之 \(M[i, j] = 0\) 表示兩頂點之間無邊。

圖的鄰接矩陣表示

圖 9-5   圖的鄰接矩陣表示

鄰接矩陣具有以下特性。

  • 頂點不能與自身相連，因此鄰接矩陣主對角線元素沒有意義。
  • 對於無向圖，兩個方向的邊等價，此時鄰接矩陣關於主對角線對稱。
  • 將鄰接矩陣的元素從 \(1\) 和 \(0\) 替換為權重，則可表示有權圖。

使用鄰接矩陣表示圖時，我們可以直接訪問矩陣元素以獲取邊，因此增刪查改操作的效率很高，時間複雜度均為 \(O(1)\) 。然而，矩陣的空間複雜度為 \(O(n^2)\) ，記憶體佔用較多。

2.   鄰接表

鄰接表（adjacency list）使用 \(n\) 個鏈結串列來表示圖，鏈結串列節點表示頂點。第 \(i\) 個鏈結串列對應頂點 \(i\) ，其中儲存了該頂點的所有鄰接頂點（與該頂點相連的頂點）。圖 9-6 展示了一個使用鄰接表儲存的圖的示例。

圖的鄰接表表示

圖 9-6   圖的鄰接表表示

鄰接表僅儲存實際存在的邊，而邊的總數通常遠小於 \(n^2\) ，因此它更加節省空間。然而，在鄰接表中需要透過走訪鏈結串列來查詢邊，因此其時間效率不如鄰接矩陣。

觀察圖 9-6 ，鄰接表結構與雜湊表中的“鏈式位址”非常相似，因此我們也可以採用類似的方法來最佳化效率。比如當鏈結串列較長時，可以將鏈結串列轉化為 AVL 樹或紅黑樹，從而將時間效率從 \(O(n)\) 最佳化至 \(O(\log n)\) ；還可以把鏈結串列轉換為雜湊表，從而將時間複雜度降至 \(O(1)\) 。

9.1.3   圖的常見應用

如表 9-1 所示，許多現實系統可以用圖來建模，相應的問題也可以約化為圖計算問題。

表 9-1   現實生活中常見的圖

頂點 邊 圖計算問題
社交網路 使用者 好友關係 潛在好友推薦
地鐵線路 站點 站點間的連通性 最短路線推薦
太陽系 星體 星體間的萬有引力作用 行星軌道計算