3.3 數字編碼 *¶

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在本書中，標題帶有 * 符號的是選讀章節。如果你時間有限或感到理解困難，可以先跳過，等學完必讀章節後再單獨攻克。

3.3.1 原碼、一補數和二補數¶

在上一節的表格中我們發現，所有整數型別能夠表示的負數都比正數多一個，例如 byte 的取值範圍是 $[- 128, 127]$ 。這個現象比較反直覺，它的內在原因涉及原碼、一補數、二補數的相關知識。

首先需要指出，數字是以“二補數”的形式儲存在計算機中的。在分析這樣做的原因之前，首先給出三者的定義。

原碼：我們將數字的二進位制表示的最高位視為符號位，其中 $0$ 表示正數， $1$ 表示負數，其餘位表示數字的值。
一補數：正數的一補數與其原碼相同，負數的一補數是對其原碼除符號位外的所有位取反。
二補數：正數的二補數與其原碼相同，負數的二補數是在其一補數的基礎上加 $1$ 。

圖 3-4 展示了原碼、一補數和二補數之間的轉換方法。

圖 3-4 原碼、一補數與二補數之間的相互轉換

原碼（sign-magnitude）雖然最直觀，但存在一些侷限性。一方面，負數的原碼不能直接用於運算。例如在原碼下計算 $1 + (- 2)$ ，得到的結果是 $- 3$ ，這顯然是不對的。

\begin{aligned} 1 + (- 2) \\ \to 0000 0001 + 1000 0010 \\ = 1000 0011 \\ \to - 3 \end{aligned}

為了解決此問題，計算機引入了一補數（1's complement）。如果我們先將原碼轉換為一補數，並在一補數下計算 $1 + (- 2)$ ，最後將結果從一補數轉換回原碼，則可得到正確結果 $- 1$ 。

\begin{aligned} 1 + (- 2) \\ \to 0000 0001 (原碼) + 1000 0010 (原碼) \\ = 0000 0001 (一補數) + 1111 1101 (一補數) \\ = 1111 1110 (一補數) \\ = 1000 0001 (原碼) \\ \to - 1 \end{aligned}

另一方面，數字零的原碼有 $+ 0$ 和 $- 0$ 兩種表示方式。這意味著數字零對應兩個不同的二進位制編碼，這可能會帶來歧義。比如在條件判斷中，如果沒有區分正零和負零，則可能會導致判斷結果出錯。而如果我們想處理正零和負零歧義，則需要引入額外的判斷操作，這可能會降低計算機的運算效率。

\begin{aligned} + 0 & \to 0000 0000 \\ - 0 & \to 1000 0000 \end{aligned}

與原碼一樣，一補數也存在正負零歧義問題，因此計算機進一步引入了二補數（2's complement）。我們先來觀察一下負零的原碼、一補數、二補數的轉換過程：

\begin{aligned} - 0 \to & 1000 0000 (原碼) \\ = & 1111 1111 (一補數) \\ = 1 & 0000 0000 (二補數) \end{aligned}

在負零的一補數基礎上加 $1$ 會產生進位，但 byte 型別的長度只有 8 位，因此溢位到第 9 位的 $1$ 會被捨棄。也就是說，負零的二補數為 $0000 0000$ ，與正零的二補數相同。這意味著在二補數表示中只存在一個零，正負零歧義從而得到解決。

還剩最後一個疑惑：byte 型別的取值範圍是 $[- 128, 127]$ ，多出來的一個負數 $- 128$ 是如何得到的呢？我們注意到，區間 $[- 127, + 127]$ 內的所有整數都有對應的原碼、一補數和二補數，並且原碼和二補數之間可以互相轉換。

然而，二補數 $1000 0000$ 是一個例外，它並沒有對應的原碼。根據轉換方法，我們得到該二補數的原碼為 $0000 0000$ 。這顯然是矛盾的，因為該原碼表示數字 $0$ ，它的二補數應該是自身。計算機規定這個特殊的二補數 $1000 0000$ 代表 $- 128$ 。實際上， $(- 1) + (- 127)$ 在二補數下的計算結果就是 $- 128$ 。

\begin{aligned} (- 127) + (- 1) \\ \to 1111 1111 (原碼) + 1000 0001 (原碼) \\ = 1000 0000 (一補數) + 1111 1110 (一補數) \\ = 1000 0001 (二補數) + 1111 1111 (二補數) \\ = 1000 0000 (二補數) \\ \to - 128 \end{aligned}

你可能已經發現了，上述所有計算都是加法運算。這暗示著一個重要事實：計算機內部的硬體電路主要是基於加法運算設計的。這是因為加法運算相對於其他運算（比如乘法、除法和減法）來說，硬體實現起來更簡單，更容易進行並行化處理，運算速度更快。

請注意，這並不意味著計算機只能做加法。透過將加法與一些基本邏輯運算結合，計算機能夠實現各種其他的數學運算。例如，計算減法 $a - b$ 可以轉換為計算加法 $a + (- b)$ ；計算乘法和除法可以轉換為計算多次加法或減法。

現在我們可以總結出計算機使用二補數的原因：基於二補數表示，計算機可以用同樣的電路和操作來處理正數和負數的加法，不需要設計特殊的硬體電路來處理減法，並且無須特別處理正負零的歧義問題。這大大簡化了硬體設計，提高了運算效率。

二補數的設計非常精妙，因篇幅關係我們就先介紹到這裡，建議有興趣的讀者進一步深入瞭解。

3.3.2 浮點數編碼¶

細心的你可能會發現：int 和 float 長度相同，都是 4 位元組，但為什麼 float 的取值範圍遠大於 int ？這非常反直覺，因為按理說 float 需要表示小數，取值範圍應該變小才對。

實際上，這是因為浮點數 float 採用了不同的表示方式。記一個 32 位元長度的二進位制數為：

b_{31} b_{30} b_{29} \dots b_{2} b_{1} b_{0}

根據 IEEE 754 標準，32-bit 長度的 float 由以下三個部分構成。

符號位 $S$ ：佔 1 位，對應 $b_{31}$ 。
指數位 $E$ ：佔 8 位，對應 $b_{30} b_{29} \dots b_{23}$ 。
分數位 $N$ ：佔 23 位，對應 $b_{22} b_{21} \dots b_{0}$ 。

二進位制數 float 對應值的計算方法為：

val = (- 1)^{b_{31}} \times 2^{{(b_{30} b_{29} \dots b_{23})}_{2} - 127} \times {(1 . b_{22} b_{21} \dots b_{0})}_{2}

轉化到十進位制下的計算公式為：

val = (- 1)^{S} \times 2^{E - 127} \times (1 + N)

其中各項的取值範圍為：

\begin{aligned} S \in & {0, 1}, E \in {1, 2, \dots, 254} \\ (1 + N) = & (1 + \sum_{i = 1}^{23} b_{23 - i} 2^{- i}) \subset [1, 2 - 2^{- 23}] \end{aligned}

圖 3-5 IEEE 754 標準下的 float 的計算示例

觀察圖 3-5 ，給定一個示例資料 $S = 0$ ， $E = 124$ ， $N = 2^{- 2} + 2^{- 3} = 0.375$ ，則有：

val = (- 1)^{0} \times 2^{124 - 127} \times (1 + 0.375) = 0.171875

現在我們可以回答最初的問題：float 的表示方式包含指數位，導致其取值範圍遠大於 int 。根據以上計算，float 可表示的最大正數為 $2^{254 - 127} \times (2 - 2^{- 23}) \approx 3.4 \times 10^{38}$ ，切換符號位便可得到最小負數。

儘管浮點數 float 擴展了取值範圍，但其副作用是犧牲了精度。整數型別 int 將全部 32 位元用於表示數字，數字是均勻分佈的；而由於指數位的存在，浮點數 float 的數值越大，相鄰兩個數字之間的差值就會趨向越大。

如表 3-2 所示，指數位 $E = 0$ 和 $E = 255$ 具有特殊含義，用於表示零、無窮大、 $NaN$ 等。

表 3-2 指數位含義

指數位 E	分數位 $N = 0$	分數位 $N \neq 0$	計算公式
$0$	$\pm 0$	次正規數	$(- 1)^{S} \times 2^{- 126} \times (0. N)$
$1, 2, \dots, 254$	正規數	正規數	$(- 1)^{S} \times 2^{(E - 127)} \times (1. N)$
$255$	$\pm \infty$	$NaN$

值得說明的是，次正規數顯著提升了浮點數的精度。最小正正規數為 $2^{- 126}$ ，最小正次正規數為 $2^{- 126} \times 2^{- 23}$ 。

雙精度 double 也採用類似於 float 的表示方法，在此不做贅述。

3.3 數字編碼 *¶

3.3.1 原碼、一補數和二補數¶

3.3.2 浮點數編碼¶

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