13.2   全排列問題

全排列問題是回溯演算法的一個典型應用。它的定義是在給定一個集合（如一個陣列或字串）的情況下，找出其中元素的所有可能的排列。

表 13-2 列舉了幾個示例資料，包括輸入陣列和對應的所有排列。

表 13-2   全排列示例

輸入陣列	所有排列
\([1]\)	\([1]\)
\([1, 2]\)	\([1, 2], [2, 1]\)
\([1, 2, 3]\)	\([1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1]\)

13.2.1   無相等元素的情況

Question

輸入一個整數陣列，其中不包含重複元素，返回所有可能的排列。

從回溯演算法的角度看，我們可以把生成排列的過程想象成一系列選擇的結果。假設輸入陣列為 \([1, 2, 3]\) ，如果我們先選擇 \(1\) ，再選擇 \(3\) ，最後選擇 \(2\) ，則獲得排列 \([1, 3, 2]\) 。回退表示撤銷一個選擇，之後繼續嘗試其他選擇。

從回溯程式碼的角度看，候選集合 choices 是輸入陣列中的所有元素，狀態 state 是直至目前已被選擇的元素。請注意，每個元素只允許被選擇一次，因此 state 中的所有元素都應該是唯一的。

如圖 13-5 所示，我們可以將搜尋過程展開成一棵遞迴樹，樹中的每個節點代表當前狀態 state 。從根節點開始，經過三輪選擇後到達葉節點，每個葉節點都對應一個排列。

圖 13-5   全排列的遞迴樹

1.   重複選擇剪枝

為了實現每個元素只被選擇一次，我們考慮引入一個布林型陣列 selected ，其中 selected[i] 表示 choices[i] 是否已被選擇，並基於它實現以下剪枝操作。

• 在做出選擇 choice[i] 後，我們就將 selected[i] 賦值為 \(\text{True}\) ，代表它已被選擇。
• 走訪選擇串列 choices 時，跳過所有已被選擇的節點，即剪枝。

如圖 13-6 所示，假設我們第一輪選擇 1 ，第二輪選擇 3 ，第三輪選擇 2 ，則需要在第二輪剪掉元素 1 的分支，在第三輪剪掉元素 1 和元素 3 的分支。

圖 13-6   全排列剪枝示例

觀察圖 13-6 發現，該剪枝操作將搜尋空間大小從 \(O(n^n)\) 減小至 \(O(n!)\) 。

2.   程式碼實現

想清楚以上資訊之後，我們就可以在框架程式碼中做“完形填空”了。為了縮短整體程式碼，我們不單獨實現框架程式碼中的各個函式，而是將它們展開在 backtrack() 函式中：

PythonC++JavaC#GoSwiftJSTSDartRustCKotlinRubyZig

permutations_i.py

def backtrack(
    state: list[int], choices: list[int], selected: list[bool], res: list[list[int]]
):
    """回溯演算法：全排列 I"""
    # 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if len(state) == len(choices):
        res.append(list(state))
        return
    # 走訪所有選擇
    for i, choice in enumerate(choices):
        # 剪枝：不允許重複選擇元素
        if not selected[i]:
            # 嘗試：做出選擇，更新狀態
            selected[i] = True
            state.append(choice)
            # 進行下一輪選擇
            backtrack(state, choices, selected, res)
            # 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = False
            state.pop()

def permutations_i(nums: list[int]) -> list[list[int]]:
    """全排列 I"""
    res = []
    backtrack(state=[], choices=nums, selected=[False] * len(nums), res=res)
    return res

permutations_i.cpp

/* 回溯演算法：全排列 I */
void backtrack(vector<int> &state, const vector<int> &choices, vector<bool> &selected, vector<vector<int>> &res) {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if (state.size() == choices.size()) {
        res.push_back(state);
        return;
    }
    // 走訪所有選擇
    for (int i = 0; i < choices.size(); i++) {
        int choice = choices[i];
        // 剪枝：不允許重複選擇元素
        if (!selected[i]) {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            selected[i] = true;
            state.push_back(choice);
            // 進行下一輪選擇
            backtrack(state, choices, selected, res);
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = false;
            state.pop_back();
        }
    }
}

/* 全排列 I */
vector<vector<int>> permutationsI(vector<int> nums) {
    vector<int> state;
    vector<bool> selected(nums.size(), false);
    vector<vector<int>> res;
    backtrack(state, nums, selected, res);
    return res;
}

permutations_i.java

/* 回溯演算法：全排列 I */
void backtrack(List<Integer> state, int[] choices, boolean[] selected, List<List<Integer>> res) {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if (state.size() == choices.length) {
        res.add(new ArrayList<Integer>(state));
        return;
    }
    // 走訪所有選擇
    for (int i = 0; i < choices.length; i++) {
        int choice = choices[i];
        // 剪枝：不允許重複選擇元素
        if (!selected[i]) {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            selected[i] = true;
            state.add(choice);
            // 進行下一輪選擇
            backtrack(state, choices, selected, res);
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = false;
            state.remove(state.size() - 1);
        }
    }
}

/* 全排列 I */
List<List<Integer>> permutationsI(int[] nums) {
    List<List<Integer>> res = new ArrayList<List<Integer>>();
    backtrack(new ArrayList<Integer>(), nums, new boolean[nums.length], res);
    return res;
}

permutations_i.cs

/* 回溯演算法：全排列 I */
void Backtrack(List<int> state, int[] choices, bool[] selected, List<List<int>> res) {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if (state.Count == choices.Length) {
        res.Add(new List<int>(state));
        return;
    }
    // 走訪所有選擇
    for (int i = 0; i < choices.Length; i++) {
        int choice = choices[i];
        // 剪枝：不允許重複選擇元素
        if (!selected[i]) {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            selected[i] = true;
            state.Add(choice);
            // 進行下一輪選擇
            Backtrack(state, choices, selected, res);
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = false;
            state.RemoveAt(state.Count - 1);
        }
    }
}

/* 全排列 I */
List<List<int>> PermutationsI(int[] nums) {
    List<List<int>> res = [];
    Backtrack([], nums, new bool[nums.Length], res);
    return res;
}

permutations_i.go

/* 回溯演算法：全排列 I */
func backtrackI(state *[]int, choices *[]int, selected *[]bool, res *[][]int) {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if len(*state) == len(*choices) {
        newState := append([]int{}, *state...)
        *res = append(*res, newState)
    }
    // 走訪所有選擇
    for i := 0; i < len(*choices); i++ {
        choice := (*choices)[i]
        // 剪枝：不允許重複選擇元素
        if !(*selected)[i] {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            (*selected)[i] = true
            *state = append(*state, choice)
            // 進行下一輪選擇
            backtrackI(state, choices, selected, res)
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            (*selected)[i] = false
            *state = (*state)[:len(*state)-1]
        }
    }
}

/* 全排列 I */
func permutationsI(nums []int) [][]int {
    res := make([][]int, 0)
    state := make([]int, 0)
    selected := make([]bool, len(nums))
    backtrackI(&state, &nums, &selected, &res)
    return res
}

permutations_i.swift

/* 回溯演算法：全排列 I */
func backtrack(state: inout [Int], choices: [Int], selected: inout [Bool], res: inout [[Int]]) {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if state.count == choices.count {
        res.append(state)
        return
    }
    // 走訪所有選擇
    for (i, choice) in choices.enumerated() {
        // 剪枝：不允許重複選擇元素
        if !selected[i] {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            selected[i] = true
            state.append(choice)
            // 進行下一輪選擇
            backtrack(state: &state, choices: choices, selected: &selected, res: &res)
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = false
            state.removeLast()
        }
    }
}

/* 全排列 I */
func permutationsI(nums: [Int]) -> [[Int]] {
    var state: [Int] = []
    var selected = Array(repeating: false, count: nums.count)
    var res: [[Int]] = []
    backtrack(state: &state, choices: nums, selected: &selected, res: &res)
    return res
}

permutations_i.js

/* 回溯演算法：全排列 I */
function backtrack(state, choices, selected, res) {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if (state.length === choices.length) {
        res.push([...state]);
        return;
    }
    // 走訪所有選擇
    choices.forEach((choice, i) => {
        // 剪枝：不允許重複選擇元素
        if (!selected[i]) {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            selected[i] = true;
            state.push(choice);
            // 進行下一輪選擇
            backtrack(state, choices, selected, res);
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = false;
            state.pop();
        }
    });
}

/* 全排列 I */
function permutationsI(nums) {
    const res = [];
    backtrack([], nums, Array(nums.length).fill(false), res);
    return res;
}

permutations_i.ts

/* 回溯演算法：全排列 I */
function backtrack(
    state: number[],
    choices: number[],
    selected: boolean[],
    res: number[][]
): void {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if (state.length === choices.length) {
        res.push([...state]);
        return;
    }
    // 走訪所有選擇
    choices.forEach((choice, i) => {
        // 剪枝：不允許重複選擇元素
        if (!selected[i]) {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            selected[i] = true;
            state.push(choice);
            // 進行下一輪選擇
            backtrack(state, choices, selected, res);
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = false;
            state.pop();
        }
    });
}

/* 全排列 I */
function permutationsI(nums: number[]): number[][] {
    const res: number[][] = [];
    backtrack([], nums, Array(nums.length).fill(false), res);
    return res;
}

permutations_i.dart

/* 回溯演算法：全排列 I */
void backtrack(
  List<int> state,
  List<int> choices,
  List<bool> selected,
  List<List<int>> res,
) {
  // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
  if (state.length == choices.length) {
    res.add(List.from(state));
    return;
  }
  // 走訪所有選擇
  for (int i = 0; i < choices.length; i++) {
    int choice = choices[i];
    // 剪枝：不允許重複選擇元素
    if (!selected[i]) {
      // 嘗試：做出選擇，更新狀態
      selected[i] = true;
      state.add(choice);
      // 進行下一輪選擇
      backtrack(state, choices, selected, res);
      // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
      selected[i] = false;
      state.removeLast();
    }
  }
}

/* 全排列 I */
List<List<int>> permutationsI(List<int> nums) {
  List<List<int>> res = [];
  backtrack([], nums, List.filled(nums.length, false), res);
  return res;
}

permutations_i.rs

/* 回溯演算法：全排列 I */
fn backtrack(mut state: Vec<i32>, choices: &[i32], selected: &mut [bool], res: &mut Vec<Vec<i32>>) {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if state.len() == choices.len() {
        res.push(state);
        return;
    }
    // 走訪所有選擇
    for i in 0..choices.len() {
        let choice = choices[i];
        // 剪枝：不允許重複選擇元素
        if !selected[i] {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            selected[i] = true;
            state.push(choice);
            // 進行下一輪選擇
            backtrack(state.clone(), choices, selected, res);
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = false;
            state.pop();
        }
    }
}

/* 全排列 I */
fn permutations_i(nums: &mut [i32]) -> Vec<Vec<i32>> {
    let mut res = Vec::new(); // 狀態（子集）
    backtrack(Vec::new(), nums, &mut vec![false; nums.len()], &mut res);
    res
}

permutations_i.c

/* 回溯演算法：全排列 I */
void backtrack(int *state, int stateSize, int *choices, int choicesSize, bool *selected, int **res, int *resSize) {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if (stateSize == choicesSize) {
        res[*resSize] = (int *)malloc(choicesSize * sizeof(int));
        for (int i = 0; i < choicesSize; i++) {
            res[*resSize][i] = state[i];
        }
        (*resSize)++;
        return;
    }
    // 走訪所有選擇
    for (int i = 0; i < choicesSize; i++) {
        int choice = choices[i];
        // 剪枝：不允許重複選擇元素
        if (!selected[i]) {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            selected[i] = true;
            state[stateSize] = choice;
            // 進行下一輪選擇
            backtrack(state, stateSize + 1, choices, choicesSize, selected, res, resSize);
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = false;
        }
    }
}

/* 全排列 I */
int **permutationsI(int *nums, int numsSize, int *returnSize) {
    int *state = (int *)malloc(numsSize * sizeof(int));
    bool *selected = (bool *)malloc(numsSize * sizeof(bool));
    for (int i = 0; i < numsSize; i++) {
        selected[i] = false;
    }
    int **res = (int **)malloc(MAX_SIZE * sizeof(int *));
    *returnSize = 0;

    backtrack(state, 0, nums, numsSize, selected, res, returnSize);

    free(state);
    free(selected);

    return res;
}

permutations_i.kt

/* 回溯演算法：全排列 I */
fun backtrack(
    state: MutableList<Int>,
    choices: IntArray,
    selected: BooleanArray,
    res: MutableList<MutableList<Int>?>
) {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if (state.size == choices.size) {
        res.add(state.toMutableList())
        return
    }
    // 走訪所有選擇
    for (i in choices.indices) {
        val choice = choices[i]
        // 剪枝：不允許重複選擇元素
        if (!selected[i]) {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            selected[i] = true
            state.add(choice)
            // 進行下一輪選擇
            backtrack(state, choices, selected, res)
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = false
            state.removeAt(state.size - 1)
        }
    }
}

/* 全排列 I */
fun permutationsI(nums: IntArray): MutableList<MutableList<Int>?> {
    val res = mutableListOf<MutableList<Int>?>()
    backtrack(mutableListOf(), nums, BooleanArray(nums.size), res)
    return res
}

permutations_i.rb

### 回溯演算法：全排列 I ###
def backtrack(state, choices, selected, res)
  # 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
  if state.length == choices.length
    res << state.dup
    return
  end

  # 走訪所有選擇
  choices.each_with_index do |choice, i|
    # 剪枝：不允許重複選擇元素
    unless selected[i]
      # 嘗試：做出選擇，更新狀態
      selected[i] = true
      state << choice
      # 進行下一輪選擇
      backtrack(state, choices, selected, res)
      # 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
      selected[i] = false
      state.pop
    end
  end
end

### 全排列 I ###
def permutations_i(nums)
  res = []
  backtrack([], nums, Array.new(nums.length, false), res)
  res
end

permutations_i.zig

[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{permutationsI}

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13.2.2   考慮相等元素的情況

Question

輸入一個整數陣列，陣列中可能包含重複元素，返回所有不重複的排列。

假設輸入陣列為 \([1, 1, 2]\) 。為了方便區分兩個重複元素 \(1\) ，我們將第二個 \(1\) 記為 \(\hat{1}\) 。

如圖 13-7 所示，上述方法生成的排列有一半是重複的。

圖 13-7   重複排列

那麼如何去除重複的排列呢？最直接地，考慮藉助一個雜湊集合，直接對排列結果進行去重。然而這樣做不夠優雅，因為生成重複排列的搜尋分支沒有必要，應當提前識別並剪枝，這樣可以進一步提升演算法效率。

1.   相等元素剪枝

觀察圖 13-8 ，在第一輪中，選擇 \(1\) 或選擇 \(\hat{1}\) 是等價的，在這兩個選擇之下生成的所有排列都是重複的。因此應該把 \(\hat{1}\) 剪枝。

同理，在第一輪選擇 \(2\) 之後，第二輪選擇中的 \(1\) 和 \(\hat{1}\) 也會產生重複分支，因此也應將第二輪的 \(\hat{1}\) 剪枝。

從本質上看，我們的目標是在某一輪選擇中，保證多個相等的元素僅被選擇一次。

圖 13-8   重複排列剪枝

2.   程式碼實現

在上一題的程式碼的基礎上，我們考慮在每一輪選擇中開啟一個雜湊集合 duplicated ，用於記錄該輪中已經嘗試過的元素，並將重複元素剪枝：

PythonC++JavaC#GoSwiftJSTSDartRustCKotlinRubyZig

permutations_ii.py

def backtrack(
    state: list[int], choices: list[int], selected: list[bool], res: list[list[int]]
):
    """回溯演算法：全排列 II"""
    # 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if len(state) == len(choices):
        res.append(list(state))
        return
    # 走訪所有選擇
    duplicated = set[int]()
    for i, choice in enumerate(choices):
        # 剪枝：不允許重複選擇元素 且 不允許重複選擇相等元素
        if not selected[i] and choice not in duplicated:
            # 嘗試：做出選擇，更新狀態
            duplicated.add(choice)  # 記錄選擇過的元素值
            selected[i] = True
            state.append(choice)
            # 進行下一輪選擇
            backtrack(state, choices, selected, res)
            # 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = False
            state.pop()

def permutations_ii(nums: list[int]) -> list[list[int]]:
    """全排列 II"""
    res = []
    backtrack(state=[], choices=nums, selected=[False] * len(nums), res=res)
    return res

permutations_ii.cpp

/* 回溯演算法：全排列 II */
void backtrack(vector<int> &state, const vector<int> &choices, vector<bool> &selected, vector<vector<int>> &res) {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if (state.size() == choices.size()) {
        res.push_back(state);
        return;
    }
    // 走訪所有選擇
    unordered_set<int> duplicated;
    for (int i = 0; i < choices.size(); i++) {
        int choice = choices[i];
        // 剪枝：不允許重複選擇元素 且 不允許重複選擇相等元素
        if (!selected[i] && duplicated.find(choice) == duplicated.end()) {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            duplicated.emplace(choice); // 記錄選擇過的元素值
            selected[i] = true;
            state.push_back(choice);
            // 進行下一輪選擇
            backtrack(state, choices, selected, res);
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = false;
            state.pop_back();
        }
    }
}

/* 全排列 II */
vector<vector<int>> permutationsII(vector<int> nums) {
    vector<int> state;
    vector<bool> selected(nums.size(), false);
    vector<vector<int>> res;
    backtrack(state, nums, selected, res);
    return res;
}

permutations_ii.java

/* 回溯演算法：全排列 II */
void backtrack(List<Integer> state, int[] choices, boolean[] selected, List<List<Integer>> res) {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if (state.size() == choices.length) {
        res.add(new ArrayList<Integer>(state));
        return;
    }
    // 走訪所有選擇
    Set<Integer> duplicated = new HashSet<Integer>();
    for (int i = 0; i < choices.length; i++) {
        int choice = choices[i];
        // 剪枝：不允許重複選擇元素 且 不允許重複選擇相等元素
        if (!selected[i] && !duplicated.contains(choice)) {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            duplicated.add(choice); // 記錄選擇過的元素值
            selected[i] = true;
            state.add(choice);
            // 進行下一輪選擇
            backtrack(state, choices, selected, res);
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = false;
            state.remove(state.size() - 1);
        }
    }
}

/* 全排列 II */
List<List<Integer>> permutationsII(int[] nums) {
    List<List<Integer>> res = new ArrayList<List<Integer>>();
    backtrack(new ArrayList<Integer>(), nums, new boolean[nums.length], res);
    return res;
}

permutations_ii.cs

/* 回溯演算法：全排列 II */
void Backtrack(List<int> state, int[] choices, bool[] selected, List<List<int>> res) {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if (state.Count == choices.Length) {
        res.Add(new List<int>(state));
        return;
    }
    // 走訪所有選擇
    HashSet<int> duplicated = [];
    for (int i = 0; i < choices.Length; i++) {
        int choice = choices[i];
        // 剪枝：不允許重複選擇元素 且 不允許重複選擇相等元素
        if (!selected[i] && !duplicated.Contains(choice)) {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            duplicated.Add(choice); // 記錄選擇過的元素值
            selected[i] = true;
            state.Add(choice);
            // 進行下一輪選擇
            Backtrack(state, choices, selected, res);
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = false;
            state.RemoveAt(state.Count - 1);
        }
    }
}

/* 全排列 II */
List<List<int>> PermutationsII(int[] nums) {
    List<List<int>> res = [];
    Backtrack([], nums, new bool[nums.Length], res);
    return res;
}

permutations_ii.go

/* 回溯演算法：全排列 II */
func backtrackII(state *[]int, choices *[]int, selected *[]bool, res *[][]int) {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if len(*state) == len(*choices) {
        newState := append([]int{}, *state...)
        *res = append(*res, newState)
    }
    // 走訪所有選擇
    duplicated := make(map[int]struct{}, 0)
    for i := 0; i < len(*choices); i++ {
        choice := (*choices)[i]
        // 剪枝：不允許重複選擇元素 且 不允許重複選擇相等元素
        if _, ok := duplicated[choice]; !ok && !(*selected)[i] {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            // 記錄選擇過的元素值
            duplicated[choice] = struct{}{}
            (*selected)[i] = true
            *state = append(*state, choice)
            // 進行下一輪選擇
            backtrackII(state, choices, selected, res)
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            (*selected)[i] = false
            *state = (*state)[:len(*state)-1]
        }
    }
}

/* 全排列 II */
func permutationsII(nums []int) [][]int {
    res := make([][]int, 0)
    state := make([]int, 0)
    selected := make([]bool, len(nums))
    backtrackII(&state, &nums, &selected, &res)
    return res
}

permutations_ii.swift

/* 回溯演算法：全排列 II */
func backtrack(state: inout [Int], choices: [Int], selected: inout [Bool], res: inout [[Int]]) {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if state.count == choices.count {
        res.append(state)
        return
    }
    // 走訪所有選擇
    var duplicated: Set<Int> = []
    for (i, choice) in choices.enumerated() {
        // 剪枝：不允許重複選擇元素 且 不允許重複選擇相等元素
        if !selected[i], !duplicated.contains(choice) {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            duplicated.insert(choice) // 記錄選擇過的元素值
            selected[i] = true
            state.append(choice)
            // 進行下一輪選擇
            backtrack(state: &state, choices: choices, selected: &selected, res: &res)
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = false
            state.removeLast()
        }
    }
}

/* 全排列 II */
func permutationsII(nums: [Int]) -> [[Int]] {
    var state: [Int] = []
    var selected = Array(repeating: false, count: nums.count)
    var res: [[Int]] = []
    backtrack(state: &state, choices: nums, selected: &selected, res: &res)
    return res
}

permutations_ii.js

/* 回溯演算法：全排列 II */
function backtrack(state, choices, selected, res) {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if (state.length === choices.length) {
        res.push([...state]);
        return;
    }
    // 走訪所有選擇
    const duplicated = new Set();
    choices.forEach((choice, i) => {
        // 剪枝：不允許重複選擇元素 且 不允許重複選擇相等元素
        if (!selected[i] && !duplicated.has(choice)) {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            duplicated.add(choice); // 記錄選擇過的元素值
            selected[i] = true;
            state.push(choice);
            // 進行下一輪選擇
            backtrack(state, choices, selected, res);
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = false;
            state.pop();
        }
    });
}

/* 全排列 II */
function permutationsII(nums) {
    const res = [];
    backtrack([], nums, Array(nums.length).fill(false), res);
    return res;
}

permutations_ii.ts

/* 回溯演算法：全排列 II */
function backtrack(
    state: number[],
    choices: number[],
    selected: boolean[],
    res: number[][]
): void {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if (state.length === choices.length) {
        res.push([...state]);
        return;
    }
    // 走訪所有選擇
    const duplicated = new Set();
    choices.forEach((choice, i) => {
        // 剪枝：不允許重複選擇元素 且 不允許重複選擇相等元素
        if (!selected[i] && !duplicated.has(choice)) {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            duplicated.add(choice); // 記錄選擇過的元素值
            selected[i] = true;
            state.push(choice);
            // 進行下一輪選擇
            backtrack(state, choices, selected, res);
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = false;
            state.pop();
        }
    });
}

/* 全排列 II */
function permutationsII(nums: number[]): number[][] {
    const res: number[][] = [];
    backtrack([], nums, Array(nums.length).fill(false), res);
    return res;
}

permutations_ii.dart

/* 回溯演算法：全排列 II */
void backtrack(
  List<int> state,
  List<int> choices,
  List<bool> selected,
  List<List<int>> res,
) {
  // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
  if (state.length == choices.length) {
    res.add(List.from(state));
    return;
  }
  // 走訪所有選擇
  Set<int> duplicated = {};
  for (int i = 0; i < choices.length; i++) {
    int choice = choices[i];
    // 剪枝：不允許重複選擇元素 且 不允許重複選擇相等元素
    if (!selected[i] && !duplicated.contains(choice)) {
      // 嘗試：做出選擇，更新狀態
      duplicated.add(choice); // 記錄選擇過的元素值
      selected[i] = true;
      state.add(choice);
      // 進行下一輪選擇
      backtrack(state, choices, selected, res);
      // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
      selected[i] = false;
      state.removeLast();
    }
  }
}

/* 全排列 II */
List<List<int>> permutationsII(List<int> nums) {
  List<List<int>> res = [];
  backtrack([], nums, List.filled(nums.length, false), res);
  return res;
}

permutations_ii.rs

/* 回溯演算法：全排列 II */
fn backtrack(mut state: Vec<i32>, choices: &[i32], selected: &mut [bool], res: &mut Vec<Vec<i32>>) {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if state.len() == choices.len() {
        res.push(state);
        return;
    }
    // 走訪所有選擇
    let mut duplicated = HashSet::<i32>::new();
    for i in 0..choices.len() {
        let choice = choices[i];
        // 剪枝：不允許重複選擇元素 且 不允許重複選擇相等元素
        if !selected[i] && !duplicated.contains(&choice) {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            duplicated.insert(choice); // 記錄選擇過的元素值
            selected[i] = true;
            state.push(choice);
            // 進行下一輪選擇
            backtrack(state.clone(), choices, selected, res);
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = false;
            state.pop();
        }
    }
}

/* 全排列 II */
fn permutations_ii(nums: &mut [i32]) -> Vec<Vec<i32>> {
    let mut res = Vec::new();
    backtrack(Vec::new(), nums, &mut vec![false; nums.len()], &mut res);
    res
}

permutations_ii.c

/* 回溯演算法：全排列 II */
void backtrack(int *state, int stateSize, int *choices, int choicesSize, bool *selected, int **res, int *resSize) {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if (stateSize == choicesSize) {
        res[*resSize] = (int *)malloc(choicesSize * sizeof(int));
        for (int i = 0; i < choicesSize; i++) {
            res[*resSize][i] = state[i];
        }
        (*resSize)++;
        return;
    }
    // 走訪所有選擇
    bool duplicated[MAX_SIZE] = {false};
    for (int i = 0; i < choicesSize; i++) {
        int choice = choices[i];
        // 剪枝：不允許重複選擇元素 且 不允許重複選擇相等元素
        if (!selected[i] && !duplicated[choice]) {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            duplicated[choice] = true; // 記錄選擇過的元素值
            selected[i] = true;
            state[stateSize] = choice;
            // 進行下一輪選擇
            backtrack(state, stateSize + 1, choices, choicesSize, selected, res, resSize);
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = false;
        }
    }
}

/* 全排列 II */
int **permutationsII(int *nums, int numsSize, int *returnSize) {
    int *state = (int *)malloc(numsSize * sizeof(int));
    bool *selected = (bool *)malloc(numsSize * sizeof(bool));
    for (int i = 0; i < numsSize; i++) {
        selected[i] = false;
    }
    int **res = (int **)malloc(MAX_SIZE * sizeof(int *));
    *returnSize = 0;

    backtrack(state, 0, nums, numsSize, selected, res, returnSize);

    free(state);
    free(selected);

    return res;
}

permutations_ii.kt

/* 回溯演算法：全排列 II */
fun backtrack(
    state: MutableList<Int>,
    choices: IntArray,
    selected: BooleanArray,
    res: MutableList<MutableList<Int>?>
) {
    // 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
    if (state.size == choices.size) {
        res.add(state.toMutableList())
        return
    }
    // 走訪所有選擇
    val duplicated = HashSet<Int>()
    for (i in choices.indices) {
        val choice = choices[i]
        // 剪枝：不允許重複選擇元素 且 不允許重複選擇相等元素
        if (!selected[i] && !duplicated.contains(choice)) {
            // 嘗試：做出選擇，更新狀態
            duplicated.add(choice) // 記錄選擇過的元素值
            selected[i] = true
            state.add(choice)
            // 進行下一輪選擇
            backtrack(state, choices, selected, res)
            // 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
            selected[i] = false
            state.removeAt(state.size - 1)
        }
    }
}

/* 全排列 II */
fun permutationsII(nums: IntArray): MutableList<MutableList<Int>?> {
    val res = mutableListOf<MutableList<Int>?>()
    backtrack(mutableListOf(), nums, BooleanArray(nums.size), res)
    return res
}

permutations_ii.rb

### 回溯演算法：全排列 II ###
def backtrack(state, choices, selected, res)
  # 當狀態長度等於元素數量時，記錄解
  if state.length == choices.length
    res << state.dup
    return
  end

  # 走訪所有選擇
  duplicated = Set.new
  choices.each_with_index do |choice, i|
    # 剪枝：不允許重複選擇元素 且 不允許重複選擇相等元素
    if !selected[i] && !duplicated.include?(choice)
      # 嘗試：做出選擇，更新狀態
      duplicated.add(choice)
      selected[i] = true
      state << choice
      # 進行下一輪選擇
      backtrack(state, choices, selected, res)
      # 回退：撤銷選擇，恢復到之前的狀態
      selected[i] = false
      state.pop
    end
  end
end

### 全排列 II ###
def permutations_ii(nums)
  res = []
  backtrack([], nums, Array.new(nums.length, false), res)
  res
end

permutations_ii.zig

[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{permutationsII}

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假設元素兩兩之間互不相同，則 \(n\) 個元素共有 \(n!\) 種排列（階乘）；在記錄結果時，需要複製長度為 \(n\) 的串列，使用 \(O(n)\) 時間。因此時間複雜度為 \(O(n!n)\) 。

最大遞迴深度為 \(n\) ，使用 \(O(n)\) 堆疊幀空間。selected 使用 \(O(n)\) 空間。同一時刻最多共有 \(n\) 個 duplicated ，使用 \(O(n^2)\) 空間。因此空間複雜度為 \(O(n^2)\) 。

3.   兩種剪枝對比

請注意，雖然 selected 和 duplicated 都用於剪枝，但兩者的目標不同。

• 重複選擇剪枝：整個搜尋過程中只有一個 selected 。它記錄的是當前狀態中包含哪些元素，其作用是避免某個元素在 state 中重複出現。
• 相等元素剪枝：每輪選擇（每個呼叫的 backtrack 函式）都包含一個 duplicated 。它記錄的是在本輪走訪（for 迴圈）中哪些元素已被選擇過，其作用是保證相等元素只被選擇一次。

圖 13-9 展示了兩個剪枝條件的生效範圍。注意，樹中的每個節點代表一個選擇，從根節點到葉節點的路徑上的各個節點構成一個排列。

圖 13-9   兩種剪枝條件的作用範圍