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13.4   n 皇后問題

Question

根據國際象棋的規則，皇后可以攻擊與同處一行、一列或一條斜線上的棋子。給定 \(n\) 個皇后和一個 \(n \times n\) 大小的棋盤，尋找使得所有皇后之間無法相互攻擊的擺放方案。

如圖 13-15 所示，當 \(n = 4\) 時，共可以找到兩個解。從回溯演算法的角度看，\(n \times n\) 大小的棋盤共有 \(n^2\) 個格子，給出了所有的選擇 choices 。在逐個放置皇后的過程中，棋盤狀態在不斷地變化，每個時刻的棋盤就是狀態 state 。

4 皇后問題的解

圖 13-15   4 皇后問題的解

圖 13-16 展示了本題的三個約束條件：多個皇后不能在同一行、同一列、同一條對角線上。值得注意的是，對角線分為主對角線 \ 和次對角線 / 兩種。

n 皇后問題的約束條件

圖 13-16   n 皇后問題的約束條件

1.   逐行放置策略

皇后的數量和棋盤的行數都為 \(n\) ，因此我們容易得到一個推論：棋盤每行都允許且只允許放置一個皇后。

也就是說，我們可以採取逐行放置策略：從第一行開始，在每行放置一個皇后，直至最後一行結束。

圖 13-17 所示為 4 皇后問題的逐行放置過程。受畫幅限制，圖 13-17 僅展開了第一行的其中一個搜尋分支，並且將不滿足列約束和對角線約束的方案都進行了剪枝。

逐行放置策略

圖 13-17   逐行放置策略

從本質上看，逐行放置策略起到了剪枝的作用，它避免了同一行出現多個皇后的所有搜尋分支。

2.   列與對角線剪枝

為了滿足列約束，我們可以利用一個長度為 \(n\) 的布林型陣列 cols 記錄每一列是否有皇后。在每次決定放置前，我們透過 cols 將已有皇后的列進行剪枝，並在回溯中動態更新 cols 的狀態。

Tip

請注意，矩陣的起點位於左上角，其中行索引從上到下增加，列索引從左到右增加。

那麼，如何處理對角線約束呢？設棋盤中某個格子的行列索引為 \((row, col)\) ，選定矩陣中的某條主對角線，我們發現該對角線上所有格子的行索引減列索引都相等，即主對角線上所有格子的 \(row - col\) 為恆定值。

也就是說，如果兩個格子滿足 \(row_1 - col_1 = row_2 - col_2\) ，則它們一定處在同一條主對角線上。利用該規律，我們可以藉助圖 13-18 所示的陣列 diags1 記錄每條主對角線上是否有皇后。

同理，次對角線上的所有格子的 \(row + col\) 是恆定值。我們同樣也可以藉助陣列 diags2 來處理次對角線約束。

處理列約束和對角線約束

圖 13-18   處理列約束和對角線約束

3.   程式碼實現

請注意，\(n\) 維方陣中 \(row - col\) 的範圍是 \([-n + 1, n - 1]\) ，\(row + col\) 的範圍是 \([0, 2n - 2]\) ，所以主對角線和次對角線的數量都為 \(2n - 1\) ，即陣列 diags1 和 diags2 的長度都為 \(2n - 1\) 。

n_queens.py
def backtrack(
    row: int,
    n: int,
    state: list[list[str]],
    res: list[list[list[str]]],
    cols: list[bool],
    diags1: list[bool],
    diags2: list[bool],
):
    """回溯演算法：n 皇后"""
    # 當放置完所有行時，記錄解
    if row == n:
        res.append([list(row) for row in state])
        return
    # 走訪所有列
    for col in range(n):
        # 計算該格子對應的主對角線和次對角線
        diag1 = row - col + n - 1
        diag2 = row + col
        # 剪枝：不允許該格子所在列、主對角線、次對角線上存在皇后
        if not cols[col] and not diags1[diag1] and not diags2[diag2]:
            # 嘗試：將皇后放置在該格子
            state[row][col] = "Q"
            cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = True
            # 放置下一行
            backtrack(row + 1, n, state, res, cols, diags1, diags2)
            # 回退：將該格子恢復為空位
            state[row][col] = "#"
            cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = False

def n_queens(n: int) -> list[list[list[str]]]:
    """求解 n 皇后"""
    # 初始化 n*n 大小的棋盤，其中 'Q' 代表皇后，'#' 代表空位
    state = [["#" for _ in range(n)] for _ in range(n)]
    cols = [False] * n  # 記錄列是否有皇后
    diags1 = [False] * (2 * n - 1)  # 記錄主對角線上是否有皇后
    diags2 = [False] * (2 * n - 1)  # 記錄次對角線上是否有皇后
    res = []
    backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2)

    return res
n_queens.cpp
/* 回溯演算法：n 皇后 */
void backtrack(int row, int n, vector<vector<string>> &state, vector<vector<vector<string>>> &res, vector<bool> &cols,
               vector<bool> &diags1, vector<bool> &diags2) {
    // 當放置完所有行時，記錄解
    if (row == n) {
        res.push_back(state);
        return;
    }
    // 走訪所有列
    for (int col = 0; col < n; col++) {
        // 計算該格子對應的主對角線和次對角線
        int diag1 = row - col + n - 1;
        int diag2 = row + col;
        // 剪枝：不允許該格子所在列、主對角線、次對角線上存在皇后
        if (!cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2]) {
            // 嘗試：將皇后放置在該格子
            state[row][col] = "Q";
            cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = true;
            // 放置下一行
            backtrack(row + 1, n, state, res, cols, diags1, diags2);
            // 回退：將該格子恢復為空位
            state[row][col] = "#";
            cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = false;
        }
    }
}

/* 求解 n 皇后 */
vector<vector<vector<string>>> nQueens(int n) {
    // 初始化 n*n 大小的棋盤，其中 'Q' 代表皇后，'#' 代表空位
    vector<vector<string>> state(n, vector<string>(n, "#"));
    vector<bool> cols(n, false);           // 記錄列是否有皇后
    vector<bool> diags1(2 * n - 1, false); // 記錄主對角線上是否有皇后
    vector<bool> diags2(2 * n - 1, false); // 記錄次對角線上是否有皇后
    vector<vector<vector<string>>> res;

    backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2);

    return res;
}
n_queens.java
/* 回溯演算法：n 皇后 */
void backtrack(int row, int n, List<List<String>> state, List<List<List<String>>> res,
        boolean[] cols, boolean[] diags1, boolean[] diags2) {
    // 當放置完所有行時，記錄解
    if (row == n) {
        List<List<String>> copyState = new ArrayList<>();
        for (List<String> sRow : state) {
            copyState.add(new ArrayList<>(sRow));
        }
        res.add(copyState);
        return;
    }
    // 走訪所有列
    for (int col = 0; col < n; col++) {
        // 計算該格子對應的主對角線和次對角線
        int diag1 = row - col + n - 1;
        int diag2 = row + col;
        // 剪枝：不允許該格子所在列、主對角線、次對角線上存在皇后
        if (!cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2]) {
            // 嘗試：將皇后放置在該格子
            state.get(row).set(col, "Q");
            cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = true;
            // 放置下一行
            backtrack(row + 1, n, state, res, cols, diags1, diags2);
            // 回退：將該格子恢復為空位
            state.get(row).set(col, "#");
            cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = false;
        }
    }
}

/* 求解 n 皇后 */
List<List<List<String>>> nQueens(int n) {
    // 初始化 n*n 大小的棋盤，其中 'Q' 代表皇后，'#' 代表空位
    List<List<String>> state = new ArrayList<>();
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        List<String> row = new ArrayList<>();
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            row.add("#");
        }
        state.add(row);
    }
    boolean[] cols = new boolean[n]; // 記錄列是否有皇后
    boolean[] diags1 = new boolean[2 * n - 1]; // 記錄主對角線上是否有皇后
    boolean[] diags2 = new boolean[2 * n - 1]; // 記錄次對角線上是否有皇后
    List<List<List<String>>> res = new ArrayList<>();

    backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2);

    return res;
}
n_queens.cs
/* 回溯演算法：n 皇后 */
void Backtrack(int row, int n, List<List<string>> state, List<List<List<string>>> res,
        bool[] cols, bool[] diags1, bool[] diags2) {
    // 當放置完所有行時，記錄解
    if (row == n) {
        List<List<string>> copyState = [];
        foreach (List<string> sRow in state) {
            copyState.Add(new List<string>(sRow));
        }
        res.Add(copyState);
        return;
    }
    // 走訪所有列
    for (int col = 0; col < n; col++) {
        // 計算該格子對應的主對角線和次對角線
        int diag1 = row - col + n - 1;
        int diag2 = row + col;
        // 剪枝：不允許該格子所在列、主對角線、次對角線上存在皇后
        if (!cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2]) {
            // 嘗試：將皇后放置在該格子
            state[row][col] = "Q";
            cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = true;
            // 放置下一行
            Backtrack(row + 1, n, state, res, cols, diags1, diags2);
            // 回退：將該格子恢復為空位
            state[row][col] = "#";
            cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = false;
        }
    }
}

/* 求解 n 皇后 */
List<List<List<string>>> NQueens(int n) {
    // 初始化 n*n 大小的棋盤，其中 'Q' 代表皇后，'#' 代表空位
    List<List<string>> state = [];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        List<string> row = [];
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            row.Add("#");
        }
        state.Add(row);
    }
    bool[] cols = new bool[n]; // 記錄列是否有皇后
    bool[] diags1 = new bool[2 * n - 1]; // 記錄主對角線上是否有皇后
    bool[] diags2 = new bool[2 * n - 1]; // 記錄次對角線上是否有皇后
    List<List<List<string>>> res = [];

    Backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2);

    return res;
}
n_queens.go
/* 回溯演算法：n 皇后 */
func backtrack(row, n int, state *[][]string, res *[][][]string, cols, diags1, diags2 *[]bool) {
    // 當放置完所有行時，記錄解
    if row == n {
        newState := make([][]string, len(*state))
        for i, _ := range newState {
            newState[i] = make([]string, len((*state)[0]))
            copy(newState[i], (*state)[i])

        }
        *res = append(*res, newState)
        return
    }
    // 走訪所有列
    for col := 0; col < n; col++ {
        // 計算該格子對應的主對角線和次對角線
        diag1 := row - col + n - 1
        diag2 := row + col
        // 剪枝：不允許該格子所在列、主對角線、次對角線上存在皇后
        if !(*cols)[col] && !(*diags1)[diag1] && !(*diags2)[diag2] {
            // 嘗試：將皇后放置在該格子
            (*state)[row][col] = "Q"
            (*cols)[col], (*diags1)[diag1], (*diags2)[diag2] = true, true, true
            // 放置下一行
            backtrack(row+1, n, state, res, cols, diags1, diags2)
            // 回退：將該格子恢復為空位
            (*state)[row][col] = "#"
            (*cols)[col], (*diags1)[diag1], (*diags2)[diag2] = false, false, false
        }
    }
}

/* 求解 n 皇后 */
func nQueens(n int) [][][]string {
    // 初始化 n*n 大小的棋盤，其中 'Q' 代表皇后，'#' 代表空位
    state := make([][]string, n)
    for i := 0; i < n; i++ {
        row := make([]string, n)
        for i := 0; i < n; i++ {
            row[i] = "#"
        }
        state[i] = row
    }
    // 記錄列是否有皇后
    cols := make([]bool, n)
    diags1 := make([]bool, 2*n-1)
    diags2 := make([]bool, 2*n-1)
    res := make([][][]string, 0)
    backtrack(0, n, &state, &res, &cols, &diags1, &diags2)
    return res
}
n_queens.swift
/* 回溯演算法：n 皇后 */
func backtrack(row: Int, n: Int, state: inout [[String]], res: inout [[[String]]], cols: inout [Bool], diags1: inout [Bool], diags2: inout [Bool]) {
    // 當放置完所有行時，記錄解
    if row == n {
        res.append(state)
        return
    }
    // 走訪所有列
    for col in 0 ..< n {
        // 計算該格子對應的主對角線和次對角線
        let diag1 = row - col + n - 1
        let diag2 = row + col
        // 剪枝：不允許該格子所在列、主對角線、次對角線上存在皇后
        if !cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2] {
            // 嘗試：將皇后放置在該格子
            state[row][col] = "Q"
            cols[col] = true
            diags1[diag1] = true
            diags2[diag2] = true
            // 放置下一行
            backtrack(row: row + 1, n: n, state: &state, res: &res, cols: &cols, diags1: &diags1, diags2: &diags2)
            // 回退：將該格子恢復為空位
            state[row][col] = "#"
            cols[col] = false
            diags1[diag1] = false
            diags2[diag2] = false
        }
    }
}

/* 求解 n 皇后 */
func nQueens(n: Int) -> [[[String]]] {
    // 初始化 n*n 大小的棋盤，其中 'Q' 代表皇后，'#' 代表空位
    var state = Array(repeating: Array(repeating: "#", count: n), count: n)
    var cols = Array(repeating: false, count: n) // 記錄列是否有皇后
    var diags1 = Array(repeating: false, count: 2 * n - 1) // 記錄主對角線上是否有皇后
    var diags2 = Array(repeating: false, count: 2 * n - 1) // 記錄次對角線上是否有皇后
    var res: [[[String]]] = []

    backtrack(row: 0, n: n, state: &state, res: &res, cols: &cols, diags1: &diags1, diags2: &diags2)

    return res
}
n_queens.js
/* 回溯演算法：n 皇后 */
function backtrack(row, n, state, res, cols, diags1, diags2) {
    // 當放置完所有行時，記錄解
    if (row === n) {
        res.push(state.map((row) => row.slice()));
        return;
    }
    // 走訪所有列
    for (let col = 0; col < n; col++) {
        // 計算該格子對應的主對角線和次對角線
        const diag1 = row - col + n - 1;
        const diag2 = row + col;
        // 剪枝：不允許該格子所在列、主對角線、次對角線上存在皇后
        if (!cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2]) {
            // 嘗試：將皇后放置在該格子
            state[row][col] = 'Q';
            cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = true;
            // 放置下一行
            backtrack(row + 1, n, state, res, cols, diags1, diags2);
            // 回退：將該格子恢復為空位
            state[row][col] = '#';
            cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = false;
        }
    }
}

/* 求解 n 皇后 */
function nQueens(n) {
    // 初始化 n*n 大小的棋盤，其中 'Q' 代表皇后，'#' 代表空位
    const state = Array.from({ length: n }, () => Array(n).fill('#'));
    const cols = Array(n).fill(false); // 記錄列是否有皇后
    const diags1 = Array(2 * n - 1).fill(false); // 記錄主對角線上是否有皇后
    const diags2 = Array(2 * n - 1).fill(false); // 記錄次對角線上是否有皇后
    const res = [];

    backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2);
    return res;
}
n_queens.ts
/* 回溯演算法：n 皇后 */
function backtrack(
    row: number,
    n: number,
    state: string[][],
    res: string[][][],
    cols: boolean[],
    diags1: boolean[],
    diags2: boolean[]
): void {
    // 當放置完所有行時，記錄解
    if (row === n) {
        res.push(state.map((row) => row.slice()));
        return;
    }
    // 走訪所有列
    for (let col = 0; col < n; col++) {
        // 計算該格子對應的主對角線和次對角線
        const diag1 = row - col + n - 1;
        const diag2 = row + col;
        // 剪枝：不允許該格子所在列、主對角線、次對角線上存在皇后
        if (!cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2]) {
            // 嘗試：將皇后放置在該格子
            state[row][col] = 'Q';
            cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = true;
            // 放置下一行
            backtrack(row + 1, n, state, res, cols, diags1, diags2);
            // 回退：將該格子恢復為空位
            state[row][col] = '#';
            cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = false;
        }
    }
}

/* 求解 n 皇后 */
function nQueens(n: number): string[][][] {
    // 初始化 n*n 大小的棋盤，其中 'Q' 代表皇后，'#' 代表空位
    const state = Array.from({ length: n }, () => Array(n).fill('#'));
    const cols = Array(n).fill(false); // 記錄列是否有皇后
    const diags1 = Array(2 * n - 1).fill(false); // 記錄主對角線上是否有皇后
    const diags2 = Array(2 * n - 1).fill(false); // 記錄次對角線上是否有皇后
    const res: string[][][] = [];

    backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2);
    return res;
}
n_queens.dart
/* 回溯演算法：n 皇后 */
void backtrack(
  int row,
  int n,
  List<List<String>> state,
  List<List<List<String>>> res,
  List<bool> cols,
  List<bool> diags1,
  List<bool> diags2,
) {
  // 當放置完所有行時，記錄解
  if (row == n) {
    List<List<String>> copyState = [];
    for (List<String> sRow in state) {
      copyState.add(List.from(sRow));
    }
    res.add(copyState);
    return;
  }
  // 走訪所有列
  for (int col = 0; col < n; col++) {
    // 計算該格子對應的主對角線和次對角線
    int diag1 = row - col + n - 1;
    int diag2 = row + col;
    // 剪枝：不允許該格子所在列、主對角線、次對角線上存在皇后
    if (!cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2]) {
      // 嘗試：將皇后放置在該格子
      state[row][col] = "Q";
      cols[col] = true;
      diags1[diag1] = true;
      diags2[diag2] = true;
      // 放置下一行
      backtrack(row + 1, n, state, res, cols, diags1, diags2);
      // 回退：將該格子恢復為空位
      state[row][col] = "#";
      cols[col] = false;
      diags1[diag1] = false;
      diags2[diag2] = false;
    }
  }
}

/* 求解 n 皇后 */
List<List<List<String>>> nQueens(int n) {
  // 初始化 n*n 大小的棋盤，其中 'Q' 代表皇后，'#' 代表空位
  List<List<String>> state = List.generate(n, (index) => List.filled(n, "#"));
  List<bool> cols = List.filled(n, false); // 記錄列是否有皇后
  List<bool> diags1 = List.filled(2 * n - 1, false); // 記錄主對角線上是否有皇后
  List<bool> diags2 = List.filled(2 * n - 1, false); // 記錄次對角線上是否有皇后
  List<List<List<String>>> res = [];

  backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2);

  return res;
}
n_queens.rs
/* 回溯演算法：n 皇后 */
fn backtrack(
    row: usize,
    n: usize,
    state: &mut Vec<Vec<String>>,
    res: &mut Vec<Vec<Vec<String>>>,
    cols: &mut [bool],
    diags1: &mut [bool],
    diags2: &mut [bool],
) {
    // 當放置完所有行時，記錄解
    if row == n {
        res.push(state.clone());
        return;
    }
    // 走訪所有列
    for col in 0..n {
        // 計算該格子對應的主對角線和次對角線
        let diag1 = row + n - 1 - col;
        let diag2 = row + col;
        // 剪枝：不允許該格子所在列、主對角線、次對角線上存在皇后
        if !cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2] {
            // 嘗試：將皇后放置在該格子
            state[row][col] = "Q".into();
            (cols[col], diags1[diag1], diags2[diag2]) = (true, true, true);
            // 放置下一行
            backtrack(row + 1, n, state, res, cols, diags1, diags2);
            // 回退：將該格子恢復為空位
            state[row][col] = "#".into();
            (cols[col], diags1[diag1], diags2[diag2]) = (false, false, false);
        }
    }
}

/* 求解 n 皇后 */
fn n_queens(n: usize) -> Vec<Vec<Vec<String>>> {
    // 初始化 n*n 大小的棋盤，其中 'Q' 代表皇后，'#' 代表空位
    let mut state: Vec<Vec<String>> = vec![vec!["#".to_string(); n]; n];
    let mut cols = vec![false; n]; // 記錄列是否有皇后
    let mut diags1 = vec![false; 2 * n - 1]; // 記錄主對角線上是否有皇后
    let mut diags2 = vec![false; 2 * n - 1]; // 記錄次對角線上是否有皇后
    let mut res: Vec<Vec<Vec<String>>> = Vec::new();

    backtrack(
        0,
        n,
        &mut state,
        &mut res,
        &mut cols,
        &mut diags1,
        &mut diags2,
    );

    res
}
n_queens.c
/* 回溯演算法：n 皇后 */
void backtrack(int row, int n, char state[MAX_SIZE][MAX_SIZE], char ***res, int *resSize, bool cols[MAX_SIZE],
               bool diags1[2 * MAX_SIZE - 1], bool diags2[2 * MAX_SIZE - 1]) {
    // 當放置完所有行時，記錄解
    if (row == n) {
        res[*resSize] = (char **)malloc(sizeof(char *) * n);
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            res[*resSize][i] = (char *)malloc(sizeof(char) * (n + 1));
            strcpy(res[*resSize][i], state[i]);
        }
        (*resSize)++;
        return;
    }
    // 走訪所有列
    for (int col = 0; col < n; col++) {
        // 計算該格子對應的主對角線和次對角線
        int diag1 = row - col + n - 1;
        int diag2 = row + col;
        // 剪枝：不允許該格子所在列、主對角線、次對角線上存在皇后
        if (!cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2]) {
            // 嘗試：將皇后放置在該格子
            state[row][col] = 'Q';
            cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = true;
            // 放置下一行
            backtrack(row + 1, n, state, res, resSize, cols, diags1, diags2);
            // 回退：將該格子恢復為空位
            state[row][col] = '#';
            cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = false;
        }
    }
}

/* 求解 n 皇后 */
char ***nQueens(int n, int *returnSize) {
    char state[MAX_SIZE][MAX_SIZE];
    // 初始化 n*n 大小的棋盤，其中 'Q' 代表皇后，'#' 代表空位
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            state[i][j] = '#';
        }
        state[i][n] = '\0';
    }
    bool cols[MAX_SIZE] = {false};           // 記錄列是否有皇后
    bool diags1[2 * MAX_SIZE - 1] = {false}; // 記錄主對角線上是否有皇后
    bool diags2[2 * MAX_SIZE - 1] = {false}; // 記錄次對角線上是否有皇后

    char ***res = (char ***)malloc(sizeof(char **) * MAX_SIZE);
    *returnSize = 0;
    backtrack(0, n, state, res, returnSize, cols, diags1, diags2);
    return res;
}
n_queens.kt
/* 回溯演算法：n 皇后 */
fun backtrack(
    row: Int,
    n: Int,
    state: MutableList<MutableList<String>>,
    res: MutableList<MutableList<MutableList<String>>?>,
    cols: BooleanArray,
    diags1: BooleanArray,
    diags2: BooleanArray
) {
    // 當放置完所有行時，記錄解
    if (row == n) {
        val copyState = mutableListOf<MutableList<String>>()
        for (sRow in state) {
            copyState.add(sRow.toMutableList())
        }
        res.add(copyState)
        return
    }
    // 走訪所有列
    for (col in 0..<n) {
        // 計算該格子對應的主對角線和次對角線
        val diag1 = row - col + n - 1
        val diag2 = row + col
        // 剪枝：不允許該格子所在列、主對角線、次對角線上存在皇后
        if (!cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2]) {
            // 嘗試：將皇后放置在該格子
            state[row][col] = "Q"
            diags2[diag2] = true
            diags1[diag1] = diags2[diag2]
            cols[col] = diags1[diag1]
            // 放置下一行
            backtrack(row + 1, n, state, res, cols, diags1, diags2)
            // 回退：將該格子恢復為空位
            state[row][col] = "#"
            diags2[diag2] = false
            diags1[diag1] = diags2[diag2]
            cols[col] = diags1[diag1]
        }
    }
}

/* 求解 n 皇后 */
fun nQueens(n: Int): MutableList<MutableList<MutableList<String>>?> {
    // 初始化 n*n 大小的棋盤，其中 'Q' 代表皇后，'#' 代表空位
    val state = mutableListOf<MutableList<String>>()
    for (i in 0..<n) {
        val row = mutableListOf<String>()
        for (j in 0..<n) {
            row.add("#")
        }
        state.add(row)
    }
    val cols = BooleanArray(n) // 記錄列是否有皇后
    val diags1 = BooleanArray(2 * n - 1) // 記錄主對角線上是否有皇后
    val diags2 = BooleanArray(2 * n - 1) // 記錄次對角線上是否有皇后
    val res = mutableListOf<MutableList<MutableList<String>>?>()

    backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2)

    return res
}
n_queens.rb
### 回溯演算法：n 皇后 ###
def backtrack(row, n, state, res, cols, diags1, diags2)
  # 當放置完所有行時，記錄解
  if row == n
    res << state.map { |row| row.dup }
    return
  end

  # 走訪所有列
  for col in 0...n
    # 計算該格子對應的主對角線和次對角線
    diag1 = row - col + n - 1
    diag2 = row + col
    # 剪枝：不允許該格子所在列、主對角線、次對角線上存在皇后
    if !cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2]
      # 嘗試：將皇后放置在該格子
      state[row][col] = "Q"
      cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = true
      # 放置下一行
      backtrack(row + 1, n, state, res, cols, diags1, diags2)
      # 回退：將該格子恢復為空位
      state[row][col] = "#"
      cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = false
    end
  end
end

### 求解 n 皇后 ###
def n_queens(n)
  # 初始化 n*n 大小的棋盤，其中 'Q' 代表皇后，'#' 代表空位
  state = Array.new(n) { Array.new(n, "#") }
  cols = Array.new(n, false) # 記錄列是否有皇后
  diags1 = Array.new(2 * n - 1, false) # 記錄主對角線上是否有皇后
  diags2 = Array.new(2 * n - 1, false) # 記錄次對角線上是否有皇后
  res = []
  backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2)

  res
end
n_queens.zig
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{nQueens}
視覺化執行

逐行放置 \(n\) 次，考慮列約束，則從第一行到最後一行分別有 \(n\)、\(n-1\)、\(\dots\)、\(2\)、\(1\) 個選擇，使用 \(O(n!)\) 時間。當記錄解時，需要複製矩陣 state 並新增進 res ，複製操作使用 \(O(n^2)\) 時間。因此，總體時間複雜度為 \(O(n! \cdot n^2)\) 。實際上，根據對角線約束的剪枝也能夠大幅縮小搜尋空間，因而搜尋效率往往優於以上時間複雜度。

陣列 state 使用 \(O(n^2)\) 空間，陣列 cols、diags1 和 diags2 皆使用 \(O(n)\) 空間。最大遞迴深度為 \(n\) ，使用 \(O(n)\) 堆疊幀空間。因此，空間複雜度為 \(O(n^2)\) 。