12.2 分割統治検索戦略¶
私たちは検索アルゴリズムが主に2つのカテゴリに分類されることを学びました。
- 総当たり検索：データ構造を走査することで実装され、時間計算量は \(O(n)\) です。
- 適応検索：独特なデータ組織形式や事前情報を利用し、時間計算量は \(O(\log n)\) または \(O(1)\) に達することができます。
実際、時間計算量が \(O(\log n)\) の検索アルゴリズムは通常分割統治戦略に基づいています。例えば、二分探索や木などです。
- 二分探索の各ステップは、問題（配列内でターゲット要素を検索する）をより小さな問題（配列の半分でターゲット要素を検索する）に分割し、配列が空になるかターゲット要素が見つかるまで続けます。
- 木は分割統治のアイデアを表現し、二分探索木、AVL木、ヒープなどのデータ構造では、様々な操作の時間計算量は \(O(\log n)\) です。
二分探索の分割統治戦略は以下の通りです。
- 問題を分割できる：二分探索は元の問題（配列内での検索）を部分問題（配列の半分での検索）に再帰的に分割し、中間要素とターゲット要素を比較することで実現されます。
- 部分問題は独立している：二分探索では、各ラウンドで一つの部分問題を処理し、他の部分問題に影響されません。
- 部分問題の解をマージする必要がない：二分探索は特定の要素を見つけることを目的としているため、部分問題の解をマージする必要がありません。部分問題が解決されると、元の問題も解決されます。
分割統治は検索効率を向上させることができます。なぜなら、総当たり検索はラウンドごとに1つの選択肢しか除去できませんが、分割統治は選択肢の半分を除去できるからです。
1. 分割統治に基づく二分探索の実装¶
前の章では、二分探索は反復に基づいて実装されました。今度は、分割統治（再帰）に基づいて実装します。
Question
長さ \(n\) の順序付けられた配列 nums が与えられ、すべての要素が一意である場合、要素 target を見つけてください。
分割統治の観点から、検索区間 \([i, j]\) に対応する部分問題を \(f(i, j)\) と表します。
元の問題 \(f(0, n-1)\) から開始して、以下のステップで二分探索を実行します。
- 検索区間 \([i, j]\) の中点 \(m\) を計算し、それを使用して検索区間の半分を除去します。
- 半分のサイズに縮小された部分問題を再帰的に解決します。これは \(f(i, m-1)\) または \(f(m+1, j)\) になる可能性があります。
targetが見つかるか区間が空になってリターンするまで、ステップ1.と2.を繰り返します。
以下の図は、配列内で要素 \(6\) を探す二分探索の分割統治過程を示しています。
図 12-4 二分探索の分割統治過程
実装コードでは、問題 \(f(i, j)\) を解決するために再帰関数 dfs() を宣言します：
binary_search_recur.py
def dfs(nums: list[int], target: int, i: int, j: int) -> int:
"""二分探索：問題 f(i, j)"""
# 区間が空の場合、対象要素がないことを示すため、-1 を返す
if i > j:
return -1
# 中点インデックス m を計算
m = (i + j) // 2
if nums[m] < target:
# 再帰部分問題 f(m+1, j)
return dfs(nums, target, m + 1, j)
elif nums[m] > target:
# 再帰部分問題 f(i, m-1)
return dfs(nums, target, i, m - 1)
else:
# 対象要素を発見したため、そのインデックスを返す
return m
def binary_search(nums: list[int], target: int) -> int:
"""二分探索"""
n = len(nums)
# 問題 f(0, n-1) を解く
return dfs(nums, target, 0, n - 1)
binary_search_recur.cpp
/* 二分探索：問題 f(i, j) */
int dfs(vector<int> &nums, int target, int i, int j) {
// 区間が空の場合、対象要素が存在しないことを示すため、-1 を返す
if (i > j) {
return -1;
}
// 中点インデックス m を計算
int m = i + (j - i) / 2;
if (nums[m] < target) {
// 再帰的な部分問題 f(m+1, j)
return dfs(nums, target, m + 1, j);
} else if (nums[m] > target) {
// 再帰的な部分問題 f(i, m-1)
return dfs(nums, target, i, m - 1);
} else {
// 対象要素が見つかったため、そのインデックスを返す
return m;
}
}
/* 二分探索 */
int binarySearch(vector<int> &nums, int target) {
int n = nums.size();
// 問題 f(0, n-1) を解く
return dfs(nums, target, 0, n - 1);
}
binary_search_recur.java
/* 二分探索：問題 f(i, j) */
int dfs(int[] nums, int target, int i, int j) {
// 区間が空の場合、対象要素が存在しないことを示すため、-1 を返す
if (i > j) {
return -1;
}
// 中点インデックス m を計算
int m = i + (j - i) / 2;
if (nums[m] < target) {
// 再帰的な部分問題 f(m+1, j)
return dfs(nums, target, m + 1, j);
} else if (nums[m] > target) {
// 再帰的な部分問題 f(i, m-1)
return dfs(nums, target, i, m - 1);
} else {
// 対象要素が見つかったため、そのインデックスを返す
return m;
}
}
/* 二分探索 */
int binarySearch(int[] nums, int target) {
int n = nums.length;
// 問題 f(0, n-1) を解く
return dfs(nums, target, 0, n - 1);
}