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11.6   归并排序

归并排序（merge sort）是一种基于分治策略的排序算法，包含图 11-10 所示的“划分”和“合并”阶段。

  1. 划分阶段：通过递归不断地将数组从中点处分开，将长数组的排序问题转换为短数组的排序问题。
  2. 合并阶段：当子数组长度为 1 时终止划分，开始合并，持续地将左右两个较短的有序数组合并为一个较长的有序数组，直至结束。

归并排序的划分与合并阶段

图 11-10   归并排序的划分与合并阶段

11.6.1   算法流程

如图 11-11 所示，“划分阶段”从顶至底递归地将数组从中点切分为两个子数组。

  1. 计算数组中点 mid ，递归划分左子数组（区间 [left, mid] ）和右子数组（区间 [mid + 1, right] ）。
  2. 递归执行步骤 1. ，直至子数组区间长度为 1 时终止。

“合并阶段”从底至顶地将左子数组和右子数组合并为一个有序数组。需要注意的是，从长度为 1 的子数组开始合并，合并阶段中的每个子数组都是有序的。

归并排序步骤

merge_sort_step2

merge_sort_step3

merge_sort_step4

merge_sort_step5

merge_sort_step6

merge_sort_step7

merge_sort_step8

merge_sort_step9

merge_sort_step10

图 11-11   归并排序步骤

观察发现，归并排序与二叉树后序遍历的递归顺序是一致的。

  • 后序遍历：先递归左子树，再递归右子树，最后处理根节点。
  • 归并排序：先递归左子数组，再递归右子数组，最后处理合并。

归并排序的实现如以下代码所示。请注意，nums 的待合并区间为 [left, right] ，而 tmp 的对应区间为 [0, right - left] 。

merge_sort.py
def merge(nums: list[int], left: int, mid: int, right: int):
    """合并左子数组和右子数组"""
    # 左子数组区间为 [left, mid], 右子数组区间为 [mid+1, right]
    # 创建一个临时数组 tmp ，用于存放合并后的结果
    tmp = [0] * (right - left + 1)
    # 初始化左子数组和右子数组的起始索引
    i, j, k = left, mid + 1, 0
    # 当左右子数组都还有元素时，进行比较并将较小的元素复制到临时数组中
    while i <= mid and j <= right:
        if nums[i] <= nums[j]:
            tmp[k] = nums[i]
            i += 1
        else:
            tmp[k] = nums[j]
            j += 1
        k += 1
    # 将左子数组和右子数组的剩余元素复制到临时数组中
    while i <= mid:
        tmp[k] = nums[i]
        i += 1
        k += 1
    while j <= right:
        tmp[k] = nums[j]
        j += 1
        k += 1
    # 将临时数组 tmp 中的元素复制回原数组 nums 的对应区间
    for k in range(0, len(tmp)):
        nums[left + k] = tmp[k]

def merge_sort(nums: list[int], left: int, right: int):
    """归并排序"""
    # 终止条件
    if left >= right:
        return  # 当子数组长度为 1 时终止递归
    # 划分阶段
    mid = (left + right) // 2 # 计算中点
    merge_sort(nums, left, mid)  # 递归左子数组
    merge_sort(nums, mid + 1, right)  # 递归右子数组
    # 合并阶段
    merge(nums, left, mid, right)
merge_sort.cpp
/* 合并左子数组和右子数组 */
void merge(vector<int> &nums, int left, int mid, int right) {
    // 左子数组区间为 [left, mid], 右子数组区间为 [mid+1, right]
    // 创建一个临时数组 tmp ，用于存放合并后的结果
    vector<int> tmp(right - left + 1);
    // 初始化左子数组和右子数组的起始索引
    int i = left, j = mid + 1, k = 0;
    // 当左右子数组都还有元素时，进行比较并将较小的元素复制到临时数组中
    while (i <= mid && j <= right) {
        if (nums[i] <= nums[j])
            tmp[k++] = nums[i++];
        else
            tmp[k++] = nums[j++];
    }
    // 将左子数组和右子数组的剩余元素复制到临时数组中
    while (i <= mid) {
        tmp[k++] = nums[i++];
    }
    while (j <= right) {
        tmp[k++] = nums[j++];
    }
    // 将临时数组 tmp 中的元素复制回原数组 nums 的对应区间
    for (k = 0; k < tmp.size(); k++) {
        nums[left + k] = tmp[k];
    }
}

/* 归并排序 */
void mergeSort(vector<int> &nums, int left, int right) {
    // 终止条件
    if (left >= right)
        return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
    // 划分阶段
    int mid = left + (right - left) / 2;    // 计算中点
    mergeSort(nums, left, mid);      // 递归左子数组
    mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
    // 合并阶段
    merge(nums, left, mid, right);
}
merge_sort.java
/* 合并左子数组和右子数组 */
void merge(int[] nums, int left, int mid, int right) {
    // 左子数组区间为 [left, mid], 右子数组区间为 [mid+1, right]
    // 创建一个临时数组 tmp ，用于存放合并后的结果
    int[] tmp = new int[right - left + 1];
    // 初始化左子数组和右子数组的起始索引
    int i = left, j = mid + 1, k = 0;
    // 当左右子数组都还有元素时，进行比较并将较小的元素复制到临时数组中
    while (i <= mid && j <= right) {
        if (nums[i] <= nums[j])
            tmp[k++] = nums[i++];
        else
            tmp[k++] = nums[j++];
    }
    // 将左子数组和右子数组的剩余元素复制到临时数组中
    while (i <= mid) {
        tmp[k++] = nums[i++];
    }
    while (j <= right) {
        tmp[k++] = nums[j++];
    }
    // 将临时数组 tmp 中的元素复制回原数组 nums 的对应区间
    for (k = 0; k < tmp.length; k++) {
        nums[left + k] = tmp[k];
    }
}

/* 归并排序 */
void mergeSort(int[] nums, int left, int right) {
    // 终止条件
    if (left >= right)
        return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
    // 划分阶段
    int mid = left + (right - left) / 2; // 计算中点
    mergeSort(nums, left, mid); // 递归左子数组
    mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
    // 合并阶段
    merge(nums, left, mid, right);
}
merge_sort.cs
/* 合并左子数组和右子数组 */
void Merge(int[] nums, int left, int mid, int right) {
    // 左子数组区间为 [left, mid], 右子数组区间为 [mid+1, right]
    // 创建一个临时数组 tmp ，用于存放合并后的结果
    int[] tmp = new int[right - left + 1];
    // 初始化左子数组和右子数组的起始索引
    int i = left, j = mid + 1, k = 0;
    // 当左右子数组都还有元素时，进行比较并将较小的元素复制到临时数组中
    while (i <= mid && j <= right) {
        if (nums[i] <= nums[j])
            tmp[k++] = nums[i++];
        else
            tmp[k++] = nums[j++];
    }
    // 将左子数组和右子数组的剩余元素复制到临时数组中
    while (i <= mid) {
        tmp[k++] = nums[i++];
    }
    while (j <= right) {
        tmp[k++] = nums[j++];
    }
    // 将临时数组 tmp 中的元素复制回原数组 nums 的对应区间
    for (k = 0; k < tmp.Length; ++k) {
        nums[left + k] = tmp[k];
    }
}

/* 归并排序 */
void MergeSort(int[] nums, int left, int right) {
    // 终止条件
    if (left >= right) return;       // 当子数组长度为 1 时终止递归
    // 划分阶段
    int mid = left + (right - left) / 2;    // 计算中点
    MergeSort(nums, left, mid);      // 递归左子数组
    MergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
    // 合并阶段
    Merge(nums, left, mid, right);
}
merge_sort.go
/* 合并左子数组和右子数组 */
func merge(nums []int, left, mid, right int) {
    // 左子数组区间为 [left, mid], 右子数组区间为 [mid+1, right]
    // 创建一个临时数组 tmp ，用于存放合并后的结果
    tmp := make([]int, right-left+1)
    // 初始化左子数组和右子数组的起始索引
    i, j, k := left, mid+1, 0
    // 当左右子数组都还有元素时，进行比较并将较小的元素复制到临时数组中
    for i <= mid && j <= right {
        if nums[i] <= nums[j] {
            tmp[k] = nums[i]
            i++
        } else {
            tmp[k] = nums[j]
            j++
        }
        k++
    }
    // 将左子数组和右子数组的剩余元素复制到临时数组中
    for i <= mid {
        tmp[k] = nums[i]
        i++
        k++
    }
    for j <= right {
        tmp[k] = nums[j]
        j++
        k++
    }
    // 将临时数组 tmp 中的元素复制回原数组 nums 的对应区间
    for k := 0; k < len(tmp); k++ {
        nums[left+k] = tmp[k]
    }
}

/* 归并排序 */
func mergeSort(nums []int, left, right int) {
    // 终止条件
    if left >= right {
        return
    }
    // 划分阶段
    mid := left + (right - left) / 2
    mergeSort(nums, left, mid)
    mergeSort(nums, mid+1, right)
    // 合并阶段
    merge(nums, left, mid, right)
}
merge_sort.swift
/* 合并左子数组和右子数组 */
func merge(nums: inout [Int], left: Int, mid: Int, right: Int) {
    // 左子数组区间为 [left, mid], 右子数组区间为 [mid+1, right]
    // 创建一个临时数组 tmp ，用于存放合并后的结果
    var tmp = Array(repeating: 0, count: right - left + 1)
    // 初始化左子数组和右子数组的起始索引
    var i = left, j = mid + 1, k = 0
    // 当左右子数组都还有元素时，进行比较并将较小的元素复制到临时数组中
    while i <= mid, j <= right {
        if nums[i] <= nums[j] {
            tmp[k] = nums[i]
            i += 1
        } else {
            tmp[k] = nums[j]
            j += 1
        }
        k += 1
    }
    // 将左子数组和右子数组的剩余元素复制到临时数组中
    while i <= mid {
        tmp[k] = nums[i]
        i += 1
        k += 1
    }
    while j <= right {
        tmp[k] = nums[j]
        j += 1
        k += 1
    }
    // 将临时数组 tmp 中的元素复制回原数组 nums 的对应区间
    for k in tmp.indices {
        nums[left + k] = tmp[k]
    }
}

/* 归并排序 */
func mergeSort(nums: inout [Int], left: Int, right: Int) {
    // 终止条件
    if left >= right { // 当子数组长度为 1 时终止递归
        return
    }
    // 划分阶段
    let mid = left + (right - left) / 2 // 计算中点
    mergeSort(nums: &nums, left: left, right: mid) // 递归左子数组
    mergeSort(nums: &nums, left: mid + 1, right: right) // 递归右子数组
    // 合并阶段
    merge(nums: &nums, left: left, mid: mid, right: right)
}
merge_sort.js
/* 合并左子数组和右子数组 */
function merge(nums, left, mid, right) {
    // 左子数组区间为 [left, mid], 右子数组区间为 [mid+1, right]
    // 创建一个临时数组 tmp ，用于存放合并后的结果
    const tmp = new Array(right - left + 1);
    // 初始化左子数组和右子数组的起始索引
    let i = left,
        j = mid + 1,
        k = 0;
    // 当左右子数组都还有元素时，进行比较并将较小的元素复制到临时数组中
    while (i <= mid && j <= right) {
        if (nums[i] <= nums[j]) {
            tmp[k++] = nums[i++];
        } else {
            tmp[k++] = nums[j++];
        }
    }
    // 将左子数组和右子数组的剩余元素复制到临时数组中
    while (i <= mid) {
        tmp[k++] = nums[i++];
    }
    while (j <= right) {
        tmp[k++] = nums[j++];
    }
    // 将临时数组 tmp 中的元素复制回原数组 nums 的对应区间
    for (k = 0; k < tmp.length; k++) {
        nums[left + k] = tmp[k];
    }
}

/* 归并排序 */
function mergeSort(nums, left, right) {
    // 终止条件
    if (left >= right) return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
    // 划分阶段
    let mid = Math.floor(left + (right - left) / 2); // 计算中点
    mergeSort(nums, left, mid); // 递归左子数组
    mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
    // 合并阶段
    merge(nums, left, mid, right);
}
merge_sort.ts
/* 合并左子数组和右子数组 */
function merge(nums: number[], left: number, mid: number, right: number): void {
    // 左子数组区间为 [left, mid], 右子数组区间为 [mid+1, right]
    // 创建一个临时数组 tmp ，用于存放合并后的结果
    const tmp = new Array(right - left + 1);
    // 初始化左子数组和右子数组的起始索引
    let i = left,
        j = mid + 1,
        k = 0;
    // 当左右子数组都还有元素时，进行比较并将较小的元素复制到临时数组中
    while (i <= mid && j <= right) {
        if (nums[i] <= nums[j]) {
            tmp[k++] = nums[i++];
        } else {
            tmp[k++] = nums[j++];
        }
    }
    // 将左子数组和右子数组的剩余元素复制到临时数组中
    while (i <= mid) {
        tmp[k++] = nums[i++];
    }
    while (j <= right) {
        tmp[k++] = nums[j++];
    }
    // 将临时数组 tmp 中的元素复制回原数组 nums 的对应区间
    for (k = 0; k < tmp.length; k++) {
        nums[left + k] = tmp[k];
    }
}

/* 归并排序 */
function mergeSort(nums: number[], left: number, right: number): void {
    // 终止条件
    if (left >= right) return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
    // 划分阶段
    let mid = Math.floor(left + (right - left) / 2); // 计算中点
    mergeSort(nums, left, mid); // 递归左子数组
    mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
    // 合并阶段
    merge(nums, left, mid, right);
}
merge_sort.dart
/* 合并左子数组和右子数组 */
void merge(List<int> nums, int left, int mid, int right) {
  // 左子数组区间为 [left, mid], 右子数组区间为 [mid+1, right]
  // 创建一个临时数组 tmp ，用于存放合并后的结果
  List<int> tmp = List.filled(right - left + 1, 0);
  // 初始化左子数组和右子数组的起始索引
  int i = left, j = mid + 1, k = 0;
  // 当左右子数组都还有元素时，进行比较并将较小的元素复制到临时数组中
  while (i <= mid && j <= right) {
    if (nums[i] <= nums[j])
      tmp[k++] = nums[i++];
    else
      tmp[k++] = nums[j++];
  }
  // 将左子数组和右子数组的剩余元素复制到临时数组中
  while (i <= mid) {
    tmp[k++] = nums[i++];
  }
  while (j <= right) {
    tmp[k++] = nums[j++];
  }
  // 将临时数组 tmp 中的元素复制回原数组 nums 的对应区间
  for (k = 0; k < tmp.length; k++) {
    nums[left + k] = tmp[k];
  }
}

/* 归并排序 */
void mergeSort(List<int> nums, int left, int right) {
  // 终止条件
  if (left >= right) return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
  // 划分阶段
  int mid = left + (right - left) ~/ 2; // 计算中点
  mergeSort(nums, left, mid); // 递归左子数组
  mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
  // 合并阶段
  merge(nums, left, mid, right);
}
merge_sort.rs
/* 合并左子数组和右子数组 */
fn merge(nums: &mut [i32], left: usize, mid: usize, right: usize) {
    // 左子数组区间为 [left, mid], 右子数组区间为 [mid+1, right]
    // 创建一个临时数组 tmp ，用于存放合并后的结果
    let tmp_size = right - left + 1;
    let mut tmp = vec![0; tmp_size];
    // 初始化左子数组和右子数组的起始索引
    let (mut i, mut j, mut k) = (left, mid + 1, 0);
    // 当左右子数组都还有元素时，进行比较并将较小的元素复制到临时数组中
    while i <= mid && j <= right {
        if nums[i] <= nums[j] {
            tmp[k] = nums[i];
            i += 1;
        } else {
            tmp[k] = nums[j];
            j += 1;
        }
        k += 1;
    }
    // 将左子数组和右子数组的剩余元素复制到临时数组中
    while i <= mid {
        tmp[k] = nums[i];
        k += 1;
        i += 1;
    }
    while j <= right {
        tmp[k] = nums[j];
        k += 1;
        j += 1;
    }
    // 将临时数组 tmp 中的元素复制回原数组 nums 的对应区间
    for k in 0..tmp_size {
        nums[left + k] = tmp[k];
    }
}

/* 归并排序 */
fn merge_sort(nums: &mut [i32], left: usize, right: usize) {
    // 终止条件
    if left >= right {
        return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
    }

    // 划分阶段
    let mid = left + (right - left) / 2; // 计算中点
    merge_sort(nums, left, mid); // 递归左子数组
    merge_sort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组

    // 合并阶段
    merge(nums, left, mid, right);
}
merge_sort.c
/* 合并左子数组和右子数组 */
void merge(int *nums, int left, int mid, int right) {
    // 左子数组区间为 [left, mid], 右子数组区间为 [mid+1, right]
    // 创建一个临时数组 tmp ，用于存放合并后的结果
    int tmpSize = right - left + 1;
    int *tmp = (int *)malloc(tmpSize * sizeof(int));
    // 初始化左子数组和右子数组的起始索引
    int i = left, j = mid + 1, k = 0;
    // 当左右子数组都还有元素时，进行比较并将较小的元素复制到临时数组中
    while (i <= mid && j <= right) {
        if (nums[i] <= nums[j]) {
            tmp[k++] = nums[i++];
        } else {
            tmp[k++] = nums[j++];
        }
    }
    // 将左子数组和右子数组的剩余元素复制到临时数组中
    while (i <= mid) {
        tmp[k++] = nums[i++];
    }
    while (j <= right) {
        tmp[k++] = nums[j++];
    }
    // 将临时数组 tmp 中的元素复制回原数组 nums 的对应区间
    for (k = 0; k < tmpSize; ++k) {
        nums[left + k] = tmp[k];
    }
    // 释放内存
    free(tmp);
}

/* 归并排序 */
void mergeSort(int *nums, int left, int right) {
    // 终止条件
    if (left >= right)
        return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
    // 划分阶段
    int mid = left + (right - left) / 2;    // 计算中点
    mergeSort(nums, left, mid);      // 递归左子数组
    mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
    // 合并阶段
    merge(nums, left, mid, right);
}
merge_sort.kt
/* 合并左子数组和右子数组 */
fun merge(nums: IntArray, left: Int, mid: Int, right: Int) {
    // 左子数组区间为 [left, mid], 右子数组区间为 [mid+1, right]
    // 创建一个临时数组 tmp ，用于存放合并后的结果
    val tmp = IntArray(right - left + 1)
    // 初始化左子数组和右子数组的起始索引
    var i = left
    var j = mid + 1
    var k = 0
    // 当左右子数组都还有元素时，进行比较并将较小的元素复制到临时数组中
    while (i <= mid && j <= right) {
        if (nums[i] <= nums[j])
            tmp[k++] = nums[i++]
        else
            tmp[k++] = nums[j++]
    }
    // 将左子数组和右子数组的剩余元素复制到临时数组中
    while (i <= mid) {
        tmp[k++] = nums[i++]
    }
    while (j <= right) {
        tmp[k++] = nums[j++]
    }
    // 将临时数组 tmp 中的元素复制回原数组 nums 的对应区间
    for (l in tmp.indices) {
        nums[left + l] = tmp[l]
    }
}

/* 归并排序 */
fun mergeSort(nums: IntArray, left: Int, right: Int) {
    // 终止条件
    if (left >= right) return  // 当子数组长度为 1 时终止递归
    // 划分阶段
    val mid = left + (right - left) / 2 // 计算中点
    mergeSort(nums, left, mid) // 递归左子数组
    mergeSort(nums, mid + 1, right) // 递归右子数组
    // 合并阶段
    merge(nums, left, mid, right)
}
merge_sort.rb
### 合并左子数组和右子数组 ###
def merge(nums, left, mid, right)
  # 左子数组区间为 [left, mid], 右子数组区间为 [mid+1, right]
  # 创建一个临时数组 tmp，用于存放合并后的结果
  tmp = Array.new(right - left + 1, 0)
  # 初始化左子数组和右子数组的起始索引
  i, j, k = left, mid + 1, 0
  # 当左右子数组都还有元素时，进行比较并将较小的元素复制到临时数组中
  while i <= mid && j <= right
    if nums[i] <= nums[j]
      tmp[k] = nums[i]
      i += 1
    else
      tmp[k] = nums[j]
      j += 1
    end
    k += 1
  end
  # 将左子数组和右子数组的剩余元素复制到临时数组中
  while i <= mid
    tmp[k] = nums[i]
    i += 1
    k += 1
  end
  while j <= right
    tmp[k] = nums[j]
    j += 1
    k += 1
  end
  # 将临时数组 tmp 中的元素复制回原数组 nums 的对应区间
  (0...tmp.length).each do |k|
    nums[left + k] = tmp[k]
  end
end

### 归并排序 ###
def merge_sort(nums, left, right)
  # 终止条件
  # 当子数组长度为 1 时终止递归
  return if left >= right
  # 划分阶段
  mid = left + (right - left) / 2 # 计算中点
  merge_sort(nums, left, mid) # 递归左子数组
  merge_sort(nums, mid + 1, right) # 递归右子数组
  # 合并阶段
  merge(nums, left, mid, right)
end
merge_sort.zig
// 合并左子数组和右子数组
// 左子数组区间 [left, mid]
// 右子数组区间 [mid + 1, right]
fn merge(nums: []i32, left: usize, mid: usize, right: usize) !void {
    // 初始化辅助数组
    var mem_arena = std.heap.ArenaAllocator.init(std.heap.page_allocator);
    defer mem_arena.deinit();
    const mem_allocator = mem_arena.allocator();
    var tmp = try mem_allocator.alloc(i32, right + 1 - left);
    std.mem.copy(i32, tmp, nums[left..right+1]);
    // 左子数组的起始索引和结束索引
    var leftStart = left - left;
    var leftEnd = mid - left;
    // 右子数组的起始索引和结束索引
    var rightStart = mid + 1 - left;
    var rightEnd = right - left;
    // i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
    var i = leftStart;
    var j = rightStart;
    // 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
    var k = left;
    while (k <= right) : (k += 1) {
        // 若“左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
        if (i > leftEnd) {
            nums[k] = tmp[j];
            j += 1;
        // 否则，若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
        } else if  (j > rightEnd or tmp[i] <= tmp[j]) {
            nums[k] = tmp[i];
            i += 1;
        // 否则，若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
        } else {
            nums[k] = tmp[j];
            j += 1;
        }
    }
}

// 归并排序
fn mergeSort(nums: []i32, left: usize, right: usize) !void {
    // 终止条件
    if (left >= right) return;              // 当子数组长度为 1 时终止递归
    // 划分阶段
    var mid = left + (right - left) / 2;    // 计算中点
    try mergeSort(nums, left, mid);         // 递归左子数组
    try mergeSort(nums, mid + 1, right);    // 递归右子数组
    // 合并阶段
    try merge(nums, left, mid, right);
}
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11.6.2   算法特性

  • 时间复杂度为 \(O(n \log n)\)、非自适应排序：划分产生高度为 \(\log n\) 的递归树，每层合并的总操作数量为 \(n\) ，因此总体时间复杂度为 \(O(n \log n)\) 。
  • 空间复杂度为 \(O(n)\)、非原地排序：递归深度为 \(\log n\) ，使用 \(O(\log n)\) 大小的栈帧空间。合并操作需要借助辅助数组实现，使用 \(O(n)\) 大小的额外空间。
  • 稳定排序：在合并过程中，相等元素的次序保持不变。

11.6.3   链表排序

对于链表，归并排序相较于其他排序算法具有显著优势，可以将链表排序任务的空间复杂度优化至 \(O(1)\) 。

  • 划分阶段：可以使用“迭代”替代“递归”来实现链表划分工作，从而省去递归使用的栈帧空间。
  • 合并阶段：在链表中，节点增删操作仅需改变引用（指针）即可实现，因此合并阶段（将两个短有序链表合并为一个长有序链表）无须创建额外链表。

具体实现细节比较复杂，有兴趣的读者可以查阅相关资料进行学习。

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