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11.7   堆排序

Tip

阅读本节前，请确保已学完“堆“章节。

堆排序（heap sort）是一种基于堆数据结构实现的高效排序算法。我们可以利用已经学过的“建堆操作”和“元素出堆操作”实现堆排序。

  1. 输入数组并建立小顶堆，此时最小元素位于堆顶。
  2. 不断执行出堆操作，依次记录出堆元素，即可得到从小到大排序的序列。

以上方法虽然可行，但需要借助一个额外数组来保存弹出的元素，比较浪费空间。在实际中，我们通常使用一种更加优雅的实现方式。

11.7.1   算法流程

设数组的长度为 \(n\) ，堆排序的流程如图 11-12 所示。

  1. 输入数组并建立大顶堆。完成后，最大元素位于堆顶。
  2. 将堆顶元素（第一个元素）与堆底元素（最后一个元素）交换。完成交换后，堆的长度减 \(1\) ，已排序元素数量加 \(1\) 。
  3. 从堆顶元素开始，从顶到底执行堆化操作（sift down）。完成堆化后，堆的性质得到修复。
  4. 循环执行第 2. 步和第 3. 步。循环 \(n - 1\) 轮后，即可完成数组排序。

Tip

实际上，元素出堆操作中也包含第 2. 步和第 3. 步，只是多了一个弹出元素的步骤。

堆排序步骤

heap_sort_step2

heap_sort_step3

heap_sort_step4

heap_sort_step5

heap_sort_step6

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heap_sort_step8

heap_sort_step9

heap_sort_step10

heap_sort_step11

heap_sort_step12

图 11-12   堆排序步骤

在代码实现中，我们使用了与“堆”章节相同的从顶至底堆化 sift_down() 函数。值得注意的是，由于堆的长度会随着提取最大元素而减小，因此我们需要给 sift_down() 函数添加一个长度参数 \(n\) ，用于指定堆的当前有效长度。代码如下所示：

heap_sort.py
def sift_down(nums: list[int], n: int, i: int):
    """堆的长度为 n ，从节点 i 开始，从顶至底堆化"""
    while True:
        # 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
        l = 2 * i + 1
        r = 2 * i + 2
        ma = i
        if l < n and nums[l] > nums[ma]:
            ma = l
        if r < n and nums[r] > nums[ma]:
            ma = r
        # 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
        if ma == i:
            break
        # 交换两节点
        nums[i], nums[ma] = nums[ma], nums[i]
        # 循环向下堆化
        i = ma

def heap_sort(nums: list[int]):
    """堆排序"""
    # 建堆操作：堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for i in range(len(nums) // 2 - 1, -1, -1):
        sift_down(nums, len(nums), i)
    # 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
    for i in range(len(nums) - 1, 0, -1):
        # 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
        nums[0], nums[i] = nums[i], nums[0]
        # 以根节点为起点，从顶至底进行堆化
        sift_down(nums, i, 0)
heap_sort.cpp
/* 堆的长度为 n ，从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
void siftDown(vector<int> &nums, int n, int i) {
    while (true) {
        // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
        int l = 2 * i + 1;
        int r = 2 * i + 2;
        int ma = i;
        if (l < n && nums[l] > nums[ma])
            ma = l;
        if (r < n && nums[r] > nums[ma])
            ma = r;
        // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
        if (ma == i) {
            break;
        }
        // 交换两节点
        swap(nums[i], nums[ma]);
        // 循环向下堆化
        i = ma;
    }
}

/* 堆排序 */
void heapSort(vector<int> &nums) {
    // 建堆操作：堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for (int i = nums.size() / 2 - 1; i >= 0; --i) {
        siftDown(nums, nums.size(), i);
    }
    // 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
    for (int i = nums.size() - 1; i > 0; --i) {
        // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
        swap(nums[0], nums[i]);
        // 以根节点为起点，从顶至底进行堆化
        siftDown(nums, i, 0);
    }
}
heap_sort.java
/* 堆的长度为 n ，从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
void siftDown(int[] nums, int n, int i) {
    while (true) {
        // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
        int l = 2 * i + 1;
        int r = 2 * i + 2;
        int ma = i;
        if (l < n && nums[l] > nums[ma])
            ma = l;
        if (r < n && nums[r] > nums[ma])
            ma = r;
        // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
        if (ma == i)
            break;
        // 交换两节点
        int temp = nums[i];
        nums[i] = nums[ma];
        nums[ma] = temp;
        // 循环向下堆化
        i = ma;
    }
}

/* 堆排序 */
void heapSort(int[] nums) {
    // 建堆操作：堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for (int i = nums.length / 2 - 1; i >= 0; i--) {
        siftDown(nums, nums.length, i);
    }
    // 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
    for (int i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
        // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
        int tmp = nums[0];
        nums[0] = nums[i];
        nums[i] = tmp;
        // 以根节点为起点，从顶至底进行堆化
        siftDown(nums, i, 0);
    }
}
heap_sort.cs
/* 堆的长度为 n ，从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
void SiftDown(int[] nums, int n, int i) {
    while (true) {
        // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
        int l = 2 * i + 1;
        int r = 2 * i + 2;
        int ma = i;
        if (l < n && nums[l] > nums[ma])
            ma = l;
        if (r < n && nums[r] > nums[ma])
            ma = r;
        // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
        if (ma == i)
            break;
        // 交换两节点
        (nums[ma], nums[i]) = (nums[i], nums[ma]);
        // 循环向下堆化
        i = ma;
    }
}

/* 堆排序 */
void HeapSort(int[] nums) {
    // 建堆操作：堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for (int i = nums.Length / 2 - 1; i >= 0; i--) {
        SiftDown(nums, nums.Length, i);
    }
    // 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
    for (int i = nums.Length - 1; i > 0; i--) {
        // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
        (nums[i], nums[0]) = (nums[0], nums[i]);
        // 以根节点为起点，从顶至底进行堆化
        SiftDown(nums, i, 0);
    }
}
heap_sort.go
/* 堆的长度为 n ，从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
func siftDown(nums *[]int, n, i int) {
    for true {
        // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
        l := 2*i + 1
        r := 2*i + 2
        ma := i
        if l < n && (*nums)[l] > (*nums)[ma] {
            ma = l
        }
        if r < n && (*nums)[r] > (*nums)[ma] {
            ma = r
        }
        // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
        if ma == i {
            break
        }
        // 交换两节点
        (*nums)[i], (*nums)[ma] = (*nums)[ma], (*nums)[i]
        // 循环向下堆化
        i = ma
    }
}

/* 堆排序 */
func heapSort(nums *[]int) {
    // 建堆操作：堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for i := len(*nums)/2 - 1; i >= 0; i-- {
        siftDown(nums, len(*nums), i)
    }
    // 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
    for i := len(*nums) - 1; i > 0; i-- {
        // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
        (*nums)[0], (*nums)[i] = (*nums)[i], (*nums)[0]
        // 以根节点为起点，从顶至底进行堆化
        siftDown(nums, i, 0)
    }
}
heap_sort.swift
/* 堆的长度为 n ，从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
func siftDown(nums: inout [Int], n: Int, i: Int) {
    var i = i
    while true {
        // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
        let l = 2 * i + 1
        let r = 2 * i + 2
        var ma = i
        if l < n, nums[l] > nums[ma] {
            ma = l
        }
        if r < n, nums[r] > nums[ma] {
            ma = r
        }
        // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
        if ma == i {
            break
        }
        // 交换两节点
        nums.swapAt(i, ma)
        // 循环向下堆化
        i = ma
    }
}

/* 堆排序 */
func heapSort(nums: inout [Int]) {
    // 建堆操作：堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for i in stride(from: nums.count / 2 - 1, through: 0, by: -1) {
        siftDown(nums: &nums, n: nums.count, i: i)
    }
    // 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
    for i in nums.indices.dropFirst().reversed() {
        // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
        nums.swapAt(0, i)
        // 以根节点为起点，从顶至底进行堆化
        siftDown(nums: &nums, n: i, i: 0)
    }
}
heap_sort.js
/* 堆的长度为 n ，从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
function siftDown(nums, n, i) {
    while (true) {
        // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
        let l = 2 * i + 1;
        let r = 2 * i + 2;
        let ma = i;
        if (l < n && nums[l] > nums[ma]) {
            ma = l;
        }
        if (r < n && nums[r] > nums[ma]) {
            ma = r;
        }
        // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
        if (ma === i) {
            break;
        }
        // 交换两节点
        [nums[i], nums[ma]] = [nums[ma], nums[i]];
        // 循环向下堆化
        i = ma;
    }
}

/* 堆排序 */
function heapSort(nums) {
    // 建堆操作：堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for (let i = Math.floor(nums.length / 2) - 1; i >= 0; i--) {
        siftDown(nums, nums.length, i);
    }
    // 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
    for (let i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
        // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
        [nums[0], nums[i]] = [nums[i], nums[0]];
        // 以根节点为起点，从顶至底进行堆化
        siftDown(nums, i, 0);
    }
}
heap_sort.ts
/* 堆的长度为 n ，从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
function siftDown(nums: number[], n: number, i: number): void {
    while (true) {
        // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
        let l = 2 * i + 1;
        let r = 2 * i + 2;
        let ma = i;
        if (l < n && nums[l] > nums[ma]) {
            ma = l;
        }
        if (r < n && nums[r] > nums[ma]) {
            ma = r;
        }
        // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
        if (ma === i) {
            break;
        }
        // 交换两节点
        [nums[i], nums[ma]] = [nums[ma], nums[i]];
        // 循环向下堆化
        i = ma;
    }
}

/* 堆排序 */
function heapSort(nums: number[]): void {
    // 建堆操作：堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for (let i = Math.floor(nums.length / 2) - 1; i >= 0; i--) {
        siftDown(nums, nums.length, i);
    }
    // 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
    for (let i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
        // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
        [nums[0], nums[i]] = [nums[i], nums[0]];
        // 以根节点为起点，从顶至底进行堆化
        siftDown(nums, i, 0);
    }
}
heap_sort.dart
/* 堆的长度为 n ，从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
void siftDown(List<int> nums, int n, int i) {
  while (true) {
    // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
    int l = 2 * i + 1;
    int r = 2 * i + 2;
    int ma = i;
    if (l < n && nums[l] > nums[ma]) ma = l;
    if (r < n && nums[r] > nums[ma]) ma = r;
    // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
    if (ma == i) break;
    // 交换两节点
    int temp = nums[i];
    nums[i] = nums[ma];
    nums[ma] = temp;
    // 循环向下堆化
    i = ma;
  }
}

/* 堆排序 */
void heapSort(List<int> nums) {
  // 建堆操作：堆化除叶节点以外的其他所有节点
  for (int i = nums.length ~/ 2 - 1; i >= 0; i--) {
    siftDown(nums, nums.length, i);
  }
  // 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
  for (int i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
    // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
    int tmp = nums[0];
    nums[0] = nums[i];
    nums[i] = tmp;
    // 以根节点为起点，从顶至底进行堆化
    siftDown(nums, i, 0);
  }
}
heap_sort.rs
/* 堆的长度为 n ，从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
fn sift_down(nums: &mut [i32], n: usize, mut i: usize) {
    loop {
        // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
        let l = 2 * i + 1;
        let r = 2 * i + 2;
        let mut ma = i;
        if l < n && nums[l] > nums[ma] {
            ma = l;
        }
        if r < n && nums[r] > nums[ma] {
            ma = r;
        }
        // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
        if ma == i {
            break;
        }
        // 交换两节点
        nums.swap(i, ma);
        // 循环向下堆化
        i = ma;
    }
}

/* 堆排序 */
fn heap_sort(nums: &mut [i32]) {
    // 建堆操作：堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for i in (0..nums.len() / 2).rev() {
        sift_down(nums, nums.len(), i);
    }
    // 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
    for i in (1..nums.len()).rev() {
        // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
        nums.swap(0, i);
        // 以根节点为起点，从顶至底进行堆化
        sift_down(nums, i, 0);
    }
}
heap_sort.c
/* 堆的长度为 n ，从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
void siftDown(int nums[], int n, int i) {
    while (1) {
        // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
        int l = 2 * i + 1;
        int r = 2 * i + 2;
        int ma = i;
        if (l < n && nums[l] > nums[ma])
            ma = l;
        if (r < n && nums[r] > nums[ma])
            ma = r;
        // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
        if (ma == i) {
            break;
        }
        // 交换两节点
        int temp = nums[i];
        nums[i] = nums[ma];
        nums[ma] = temp;
        // 循环向下堆化
        i = ma;
    }
}

/* 堆排序 */
void heapSort(int nums[], int n) {
    // 建堆操作：堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; --i) {
        siftDown(nums, n, i);
    }
    // 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
    for (int i = n - 1; i > 0; --i) {
        // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
        int tmp = nums[0];
        nums[0] = nums[i];
        nums[i] = tmp;
        // 以根节点为起点，从顶至底进行堆化
        siftDown(nums, i, 0);
    }
}
heap_sort.kt
/* 堆的长度为 n ，从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
fun siftDown(nums: IntArray, n: Int, li: Int) {
    var i = li
    while (true) {
        // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
        val l = 2 * i + 1
        val r = 2 * i + 2
        var ma = i
        if (l < n && nums[l] > nums[ma]) 
            ma = l
        if (r < n && nums[r] > nums[ma]) 
            ma = r
        // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
        if (ma == i) 
            break
        // 交换两节点
        val temp = nums[i]
        nums[i] = nums[ma]
        nums[ma] = temp
        // 循环向下堆化
        i = ma
    }
}

/* 堆排序 */
fun heapSort(nums: IntArray) {
    // 建堆操作：堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for (i in nums.size / 2 - 1 downTo 0) {
        siftDown(nums, nums.size, i)
    }
    // 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
    for (i in nums.size - 1 downTo 1) {
        // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
        val temp = nums[0]
        nums[0] = nums[i]
        nums[i] = temp
        // 以根节点为起点，从顶至底进行堆化
        siftDown(nums, i, 0)
    }
}
heap_sort.rb
### 堆的长度为 n ，从节点 i 开始，从顶至底堆化 ###
def sift_down(nums, n, i)
  while true
    # 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
    l = 2 * i + 1
    r = 2 * i + 2
    ma = i
    ma = l if l < n && nums[l] > nums[ma]
    ma = r if r < n && nums[r] > nums[ma]
    # 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
    break if ma == i
    # 交换两节点
    nums[i], nums[ma] = nums[ma], nums[i]
    # 循环向下堆化
    i = ma
  end
end

### 堆排序 ###
def heap_sort(nums)
  # 建堆操作：堆化除叶节点以外的其他所有节点
  (nums.length / 2 - 1).downto(0) do |i|
    sift_down(nums, nums.length, i)
  end
  # 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
  (nums.length - 1).downto(1) do |i|
    # 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
    nums[0], nums[i] = nums[i], nums[0]
    # 以根节点为起点，从顶至底进行堆化
    sift_down(nums, i, 0)
  end
end
heap_sort.zig
[class]{}-[func]{siftDown}

[class]{}-[func]{heapSort}
可视化运行

11.7.2   算法特性

  • 时间复杂度为 \(O(n \log n)\)、非自适应排序：建堆操作使用 \(O(n)\) 时间。从堆中提取最大元素的时间复杂度为 \(O(\log n)\) ，共循环 \(n - 1\) 轮。
  • 空间复杂度为 \(O(1)\)、原地排序：几个指针变量使用 \(O(1)\) 空间。元素交换和堆化操作都是在原数组上进行的。
  • 非稳定排序：在交换堆顶元素和堆底元素时，相等元素的相对位置可能发生变化。
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