12.5 小结¶

分治是一种常见的算法设计策略，包括分（划分）和治（合并）两个阶段，通常基于递归实现。
判断是否是分治算法问题的依据包括：问题能否分解、子问题是否独立、子问题能否合并。
归并排序是分治策略的典型应用，其递归地将数组划分为等长的两个子数组，直到只剩一个元素时开始逐层合并，从而完成排序。
引入分治策略往往可以提升算法效率。一方面，分治策略减少了操作数量；另一方面，分治后有利于系统的并行优化。
分治既可以解决许多算法问题，也广泛应用于数据结构与算法设计中，处处可见其身影。
相较于暴力搜索，自适应搜索效率更高。时间复杂度为 \(O(\log n)\) 的搜索算法通常是基于分治策略实现的。
二分查找是分治策略的另一个典型应用，它不包含将子问题的解进行合并的步骤。我们可以通过递归分治实现二分查找。
在构建二叉树的问题中，构建树（原问题）可以划分为构建左子树和右子树（子问题），这可以通过划分前序遍历和中序遍历的索引区间来实现。
在汉诺塔问题中，一个规模为 \(n\) 的问题可以划分为两个规模为 \(n-1\) 的子问题和一个规模为 \(1\) 的子问题。按顺序解决这三个子问题后，原问题随之得到解决。